முறையான தர்க்கம்

சொற்பொருள் அட்டவணை

1980 களில் இருந்து பிசி அல்லது எல்பிசி ஆகியவற்றில் வாதங்களின் செல்லுபடியை தீர்மானிப்பதற்கான மற்றொரு நுட்பம் சில புகழ் பெற்றது, இது அதன் கற்றல் எளிமை மற்றும் கணினி நிரல்களால் நேராக செயல்படுத்தப்படுவதால். முதலில் டச்சு தர்க்கவியலாளர் எவர்ட் டபிள்யூ. பெத் பரிந்துரைத்தார், இது அமெரிக்க கணிதவியலாளரும் தர்க்கவியலாளருமான ரேமண்ட் எம். ஸ்மல்லியன் அவர்களால் முழுமையாக உருவாக்கப்பட்டு விளம்பரப்படுத்தப்பட்டது. முடிவு தவறானதாக இருக்கும்போது செல்லுபடியாகும் வாதத்தின் வளாகம் உண்மையாக இருக்க முடியாது என்ற அவதானிப்பில் தங்கியிருக்கும் இந்த முறை, வளாகத்தை ஒரே நேரத்தில் திருப்திப்படுத்தும் விதமாகவும், மறுக்கப்படுவதாகவும் விளங்குகிறது. முடிவும் திருப்தி அளிக்கிறது. அத்தகைய முயற்சியில் வெற்றி என்பது வாதம் தவறானது என்பதைக் காண்பிக்கும், அதே நேரத்தில் அத்தகைய விளக்கத்தைக் கண்டுபிடிக்கத் தவறினால் அது செல்லுபடியாகும் என்பதைக் காண்பிக்கும்.

ஒரு சொற்பொருள் அட்டவணையின் கட்டுமானம் பின்வருமாறு தொடர்கிறது: பி.சி.யில் ஒரு வாதத்தின் முடிவை நிராகரித்தல் மற்றும் நிராகரித்தல் ஆகியவற்றை நிராகரித்தல் (∼) மற்றும் விலகல் (∨) ஆகியவற்றை மட்டுமே முன்மொழிவு இணைப்புகளாகப் பயன்படுத்துங்கள். ஒரு வரிசையில் இரண்டு நிராகரிப்பு அறிகுறிகளின் ஒவ்வொரு நிகழ்வையும் அகற்றவும் (எ.கா., ∼∼∼∼∼a ஆகிறது ∼a). இப்போது ஒரு மர வரைபடத்தை கீழ்நோக்கி கிளைக்க வேண்டும், அதாவது ஒவ்வொரு துண்டிப்பும் இரண்டு கிளைகளால் மாற்றப்படுகின்றன, ஒன்று இடதுபுறமும் ஒன்று வலதுபுறமும். கிளை ஒன்று உண்மையாக இருந்தால் அசல் விலகல் உண்மை. டி மோர்கனின் சட்டங்களைப் பற்றிய குறிப்பு, இரு பிரிவினரின் மறுப்புகளும் உண்மையாக இருந்தால், ஒரு விலகல் மறுப்பது உண்மைதான் [அதாவது, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p ·) q)]. இந்த சொற்பொருள் அவதானிப்பு, ஒரு பிரிவின் மறுப்பு ஒவ்வொரு பிரிவின் மறுப்பையும் கொண்ட ஒரு கிளையாக மாறுகிறது என்ற விதிக்கு வழிவகுக்கிறது:

பின்வரும் வாதத்தைக் கவனியுங்கள்:

எழுது:

இப்போது பிளவுகளைத் தாக்கி இரண்டு கிளைகளை உருவாக்குங்கள்:

குறைந்தது ஒரு கிளையில் உள்ள அனைத்து வாக்கியங்களும் உண்மையாக இருந்தால் மட்டுமே, அசல் வளாகம் உண்மையாகவும், முடிவு தவறாகவும் இருக்க முடியும் (முடிவை நிராகரிப்பதற்கு சமமாக). ஒவ்வொரு கிளையிலும் மரத்தின் மேற்புறத்தில் கோட்டைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம், இடது கிளையில் ஒரு மதிப்பீட்டின் விளைவாக அந்த கிளையில் உள்ள அனைத்து வாக்கியங்களும் உண்மையான மதிப்பைப் பெறாது என்பதை ஒருவர் கவனிக்கிறார் (a மற்றும் ofa இருப்பதால்). இதேபோல், சரியான கிளையில் b மற்றும் ∼b இன் இருப்பு ஒரு மதிப்பீட்டால் கிளையின் அனைத்து வாக்கியங்களும் மதிப்பைப் பெறுவதைப் பெற முடியாது. இவை அனைத்தும் சாத்தியமான கிளைகள்; எனவே, வளாகம் உண்மையானது மற்றும் முடிவு தவறானது என்று ஒரு சூழ்நிலையைக் கண்டுபிடிக்க முடியாது. எனவே அசல் வாதம் செல்லுபடியாகும்.

பிற இணைப்புகளைச் சமாளிக்க இந்த நுட்பத்தை நீட்டிக்க முடியும்:

மேலும், எல்பிசியில், அளவிடப்பட்ட wff களை நிறுவுவதற்கான விதிகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட வேண்டும். (∀x) ϕx மற்றும் bothy இரண்டையும் கொண்ட எந்தவொரு கிளையும் தெளிவாக உள்ளது, அதில் அந்த கிளையில் உள்ள அனைத்து வாக்கியங்களும் ஒரே நேரத்தில் திருப்தி அடைய முடியாது (ω- நிலைத்தன்மையின் அனுமானத்தின் கீழ்; மெட்டாலஜிக் பார்க்கவும்). மீண்டும், அனைத்து கிளைகளும் ஒரே நேரத்தில் திருப்தி அடையத் தவறினால், அசல் வாதம் செல்லுபடியாகும்.

எல்பிசியின் சிறப்பு அமைப்புகள்

மேலே விளக்கப்பட்டுள்ள எல்.பி.சி பல்வேறு வழிகளில் wffs வரம்பைக் கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் அல்லது விரிவாக்குவதன் மூலம் மாற்றியமைக்கப்படலாம்:

• 1. எல்பிசியின் பகுதி அமைப்புகள். கட்டுப்பாட்டால் உருவாக்கப்படும் சில முக்கியமான அமைப்புகள் இங்கே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளன:

  • a. எண்ணற்ற தனிநபர் மற்றும் முன்கணிப்பு மாறிகள் அனுமதிக்கும் போது ஒவ்வொரு முன்கணிப்பு மாறியும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். அணு wffs என்பது வெறுமனே ஒரு முன்னறிவிப்பு மாறியைக் கொண்டவை, அதைத் தொடர்ந்து ஒரு தனி மாறி. இல்லையெனில், உருவாக்கும் விதிகள் முன்பு போலவே இருக்கின்றன, மேலும் செல்லுபடியாகும் வரையறையும் முந்தைய வழிகளில் உள்ளது, இருப்பினும் வெளிப்படையான வழிகளில் எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. இந்த அமைப்பு மொனாடிக் எல்பிசி என்று அழைக்கப்படுகிறது; இது பண்புகளின் தர்க்கத்தை வழங்குகிறது, ஆனால் உறவுகளின் அல்ல. இந்த அமைப்பின் ஒரு முக்கியமான பண்பு என்னவென்றால், அது தீர்மானிக்கத்தக்கது. (ஒரு டையாடிக் ப்ரிடிகேட் மாறி கூட அறிமுகம், கணினியை தீர்மானிக்க முடியாததாக ஆக்கும், உண்மையில், ஒரே ஒரு டையாடிக் ப்ரிடிகேட் மாறி மற்றும் வேறு எந்த முன்கணிப்பு மாறிகள் மட்டுமே உள்ள அமைப்பு கூட தீர்மானிக்க முடியாததாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது.)

  • (1) ஒவ்வொரு முன்கணிப்பு மாறியும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும், (2) ஒரு தனி மாறி (எ.கா., எக்ஸ்) மட்டுமே பயன்படுத்தப்பட வேண்டும், (3) இந்த மாறியின் ஒவ்வொரு நிகழ்வுகளும் பிணைக்கப்பட வேண்டும், மற்றும் (1) தேவைப்படுவதன் மூலம் பிஏ இன்னும் எளிமையான அமைப்பை உருவாக்க முடியும். 4) வேறு எந்த அளவிலும் எந்த அளவையும் ஏற்படாது. இந்த அமைப்பின் wffs இன் எடுத்துக்காட்டுகள் (∀x) [ϕx ⊃ (ψx ·) x)] (“எதுவாக இருந்தாலும் both மற்றும் both” இரண்டும்); (X) (ϕx ·) x) (“ஏதோ இருக்கிறது ϕ ஆனால் not இல்லை”); மற்றும் (x) (ϕx) x) ⊃ (∃x) (ϕx ·) x) (“எது ϕ என்றால் something என்றால், ஏதோ ϕ மற்றும் both”). இந்த அமைப்பிற்கான குறியீட்டை எல்லா இடங்களிலும் x ஐ தவிர்த்து, “ஏதோ is for”, “(ϕ ⊃ ψ)“ எது எதுவானாலும் is is ”, மற்றும் பலவற்றை எழுதுவதன் மூலம் எளிமைப்படுத்தலாம். இந்த அமைப்பு மோனாடிக் எல்பிசி (இது ஒரு துண்டு) ஐ விடவும் அடிப்படை என்றாலும், பரந்த அளவிலான அனுமானங்களின் வடிவங்களை அதில் குறிப்பிடலாம். இது ஒரு தீர்மானகரமான அமைப்பாகும், மேலும் ஒரு அடிப்படை வகையான முடிவு நடைமுறைகள் அதற்கு வழங்கப்படலாம்.

• 2. எல்பிசியின் நீட்டிப்புகள். மேலும் விரிவான அமைப்புகள், இதில் பரந்த அளவிலான முன்மொழிவுகளை வெளிப்படுத்த முடியும், பல்வேறு வகையான எல்பிசி புதிய சின்னங்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கட்டப்பட்டுள்ளன. அத்தகைய சேர்த்தல்களில் மிகவும் நேரடியானவை:

  • a.On அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட தனிப்பட்ட மாறிலிகள் (சொல்லுங்கள், a, b,

    ): இந்த மாறிலிகள் குறிப்பிட்ட நபர்களின் பெயர்களாக விளக்கப்படுகின்றன; முறையாக அவை தனித்தனி மாறிகளிலிருந்து வேறுபடுகின்றன, அவை அளவுகோல்களுக்குள் ஏற்படாது; எ.கா., (∀x) ஒரு அளவுகோல் ஆனால் (∀a) இல்லை.

  • b.On அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முன்கணிப்பு மாறிலிகள் (சொல்லுங்கள், A, B,

    ), ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட அளவிலும், குறிப்பிட்ட பண்புகள் அல்லது உறவுகளை நியமிப்பதாக கருதப்படுகிறது.

மேலும் சாத்தியமான கூடுதலாக, இது ஓரளவு முழுமையான விளக்கத்தைக் கோருகிறது, இது செயல்பாடுகளுக்கு நிற்க வடிவமைக்கப்பட்ட சின்னங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு செயல்பாட்டின் கருத்து தற்போதைய நோக்கங்களுக்காக பின்வருமாறு போதுமானதாக விளக்கப்படலாம். அனைத்து வாதங்களும் குறிப்பிடப்படும்போதெல்லாம் ஒரு தனித்துவமான பொருளை (செயல்பாட்டின் மதிப்பு என அழைக்கப்படுகிறது) குறிப்பிடும் ஒரு விதி இருக்கும்போது n வாதங்களின் (அல்லது, பட்டம் n இன்) ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. மனிதர்களின் களத்தில், எடுத்துக்காட்டாக, “தாய் -” என்பது ஒரு மோனாடிக் செயல்பாடு (ஒரு வாதத்தின் செயல்பாடு), ஏனென்றால் ஒவ்வொரு மனிதனுக்கும் ஒரு தனித்துவமான தனிநபர் இருப்பதால் அவரது தாயார்; மற்றும் இயற்கை எண்களின் களத்தில் (அதாவது, 0, 1, 2,

), “- மற்றும் -” என்பது இரண்டு வாதங்களின் செயல்பாடாகும், ஏனெனில் எந்த ஜோடி இயற்கை எண்களுக்கும் ஒரு இயற்கை எண் இருப்பதால் அவை அவற்றின் தொகை ஆகும். ஒரு செயல்பாட்டு சின்னம் மற்ற பெயர்களில் (அதன் வாதங்கள்) ஒரு பெயரை உருவாக்குவதாக கருதலாம்; எனவே, x மற்றும் y பெயர் எண்களில், “x மற்றும் y இன் கூட்டுத்தொகை” ஒரு எண்ணையும் பெயரிடுகிறது, அதேபோல் மற்ற வகையான செயல்பாடுகள் மற்றும் வாதங்களுக்கும்.

LPC இல் வெளிப்படுத்தப்படும் செயல்பாடுகளைச் சேர்க்க, சேர்க்கப்படலாம்:

• c.One அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட செயல்பாட்டு மாறிகள் (சொல்லுங்கள், f, g,

  ) அல்லது ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட செயல்பாட்டு மாறிலிகள் (சொல்லுங்கள், எஃப், ஜி,

  ) அல்லது இரண்டும், ஒவ்வொன்றும் சில குறிப்பிட்ட அளவு. முந்தையவை குறிப்பிட்ட டிகிரிகளின் செயல்பாடுகளுக்கு மேலாகவும், பிந்தையது அந்த பட்டத்தின் குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளை குறிப்பதாகவும் விளக்கப்படுகிறது.

எல்.பீ.சியில் ஏதேனும் அல்லது அனைத்தையும் சேர்க்கும்போது, ​​புதிய முன்கணிப்பு கால்குலஸில் பிரிவின் முதல் பத்தியில் பட்டியலிடப்பட்ட உருவாக்கும் விதிகள் (மேலே காண்க குறைந்த முன்கணிப்பு கால்குலஸ்) புதிய சின்னங்களை இணைக்க உதவும் வகையில் மாற்றியமைக்க வேண்டும் wffs. இது பின்வருமாறு செய்யப்படலாம்: ஒரு சொல் முதலில் (1) ஒரு தனிப்பட்ட மாறி அல்லது (2) ஒரு தனிப்பட்ட மாறிலி அல்லது (3) எந்தவொரு n சொற்களுக்கும் ஒரு செயல்பாட்டு மாறி அல்லது டிகிரி n இன் செயல்பாட்டு மாறிலியை முன்னொட்டுவதன் மூலம் உருவாகும் எந்தவொரு வெளிப்பாடாகவும் வரையறுக்கப்படுகிறது (இந்த சொற்கள் function செயல்பாட்டு சின்னத்தின் வாதங்கள் usually பொதுவாக காற்புள்ளிகளால் பிரிக்கப்பட்டு அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்படுகின்றன). உருவாக்கம் விதி 1 பின்னர் மாற்றப்படுகிறது:

• 1′.ஒரு வெளிப்பாடு ஒரு முன்னறிவிப்பு மாறி அல்லது டிகிரி n இன் முன்கணிப்பு மாறிலியைக் கொண்ட n சொற்களைத் தொடர்ந்து ஒரு wff ஆகும்.

எல்.பீ.சியின் அச்சுமயமாக்கல் குறித்த பிரிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள அச்சு சார்ந்த அடிப்படையும் (எல்.பீ.சியின் ஆக்சியோமேடிசேஷனுக்கு மேலே காண்க) பின்வரும் மாற்றமும் தேவைப்படுகிறது: ஆக்சியம் ஸ்கீமா 2 இல், term உருவாகும் போது எந்த வார்த்தையும் மாற்ற அனுமதிக்கப்படுகிறது, எந்தவொரு மாறுபாடும் இலவசமாக இல்லை காலமானது in இல் பிணைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் எல்.பீ.சிக்கு மேற்கூறிய சேர்த்தல்களின் பயன்பாட்டை விளக்குகின்றன: தனிப்பட்ட மாறிகளின் மதிப்புகள் இயற்கை எண்களாக இருக்கட்டும்; தனிப்பட்ட மாறிலிகள் முறையே 2 மற்றும் 3 எண்களுக்கு a மற்றும் b நிற்கட்டும்; ஒரு சராசரி “முதன்மையானது”; மற்றும் எஃப் "சாயல்" என்ற சாயல் செயல்பாட்டைக் குறிக்கட்டும். பின்னர் AF (a, b) “2 மற்றும் 3 தொகை முதன்மையானது” என்ற கருத்தை வெளிப்படுத்துகிறது, மற்றும் (∃x) AF (x, a) முன்மொழிவை வெளிப்படுத்துகிறது “அதன் கூட்டுத்தொகை மற்றும் 2 முதன்மையானது என்று ஒரு எண் உள்ளது. ”

மாறிலிகளின் அறிமுகம் பொதுவாக அந்த மாறிலிகளைக் கொண்ட சிறப்புச் சொற்களின் அச்சு சார்ந்த அடிப்படையுடன் கூடுதலாக இருக்கும், அவை பொருள்கள், பண்புகள், உறவுகள் அல்லது அவை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் செயல்பாடுகளை வைத்திருக்கும் கொள்கைகளை வெளிப்படுத்த வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன - அவை பொருள்கள், பண்புகள் ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்றாலும், உறவுகள் அல்லது பொதுவாக செயல்பாடுகள். எடுத்துக்காட்டாக, டையாடிக் உறவை “விட பெரியது” என்பதைக் குறிக்க மாறிலி A ஐப் பயன்படுத்துவது தீர்மானிக்கப்படலாம் (ஆகவே ஆக்சி என்பது “x ஐ விட பெரியது” மற்றும் முன்னும் பின்னுமாக). இந்த உறவு, பலரைப் போலல்லாமல், இடைநிலை; அதாவது, ஒரு பொருள் ஒரு விநாடியை விட அதிகமாக இருந்தால், அந்த வினாடி மூன்றில் ஒரு பகுதியை விட அதிகமாக இருந்தால், முதல் மூன்றாவது விட பெரியது. எனவே, பின்வரும் சிறப்பு ஆக்ஸியம் ஸ்கீமா சேர்க்கப்படலாம்: t ₁, t ₂ மற்றும் t ₃ ஏதேனும் சொற்கள் என்றால், (₁ t ₂ At ₂ t _{3 இல்}) _{1 1} t _{3 இல்} ஒரு ஆக்சியம் உள்ளது. இத்தகைய வழிகளில் பல்வேறு குறிப்பிட்ட பிரிவுகளின் தர்க்கரீதியான கட்டமைப்புகளை வெளிப்படுத்த அமைப்புகளை உருவாக்க முடியும். இந்த வகையான பெரும்பாலான வேலைகள் செய்யப்பட்ட பகுதி இயற்கை எண் எண்கணிதமாகும்.

பிசி மற்றும் எல்பிசி சில நேரங்களில் ஒற்றை அமைப்பாக இணைக்கப்படுகின்றன. எல்பிசி ஆதிமனிதர்களின் பட்டியலில் முன்மொழிவு மாறிகள் சேர்ப்பதன் மூலமும், ஒரு முன்மொழிவு மாறி தனியாக நிற்பது ஒரு wff என்ற விளைவிற்கு ஒரு உருவாக்கம் விதியைச் சேர்ப்பதன் மூலமும், ஆக்சியம் ஸ்கீமாவில் “எல்பிசி” ஐ நீக்குவதன் மூலமும் இது மிகவும் எளிமையாக செய்யப்படலாம் 1. இது போன்ற வெளிப்பாடுகளை wffs (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx மற்றும் (∃x) [p ⊃ () y) ϕxy] என.

• அடையாளத்துடன் 3.LPC. “என்பது” என்ற சொல் எப்போதும் ஒரே வழியில் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை. (1) “சாக்ரடீஸ் முனகல் மூக்கு” ​​போன்ற ஒரு கருத்தில், “என்பது” க்கு முந்தைய வெளிப்பாடு ஒரு தனிநபரைக் குறிக்கிறது, அதைத் தொடர்ந்து வரும் வெளிப்பாடு அந்த நபருக்குக் கூறப்பட்ட ஒரு சொத்தை குறிக்கிறது. ஆனால், (2) “சாக்ரடீஸ் தான் ஹெம்லாக் குடித்த ஏதெனியன் தத்துவஞானி” போன்ற ஒரு முன்மொழிவில், “அதற்கு முந்தைய” மற்றும் பின்பற்றும் வெளிப்பாடுகள் இரு நபர்களுக்கும் பெயர், மற்றும் முழு முன்மொழிவின் அர்த்தம் முதல் பெயரிடப்பட்ட நபர் இரண்டாவது பெயரிடப்பட்ட தனிநபரின் அதே நபர். எனவே, 2 இல் “என்பது” “அதே தனிநபராக” விரிவாக்கப்படலாம், அதேசமயம் 1 இல் அது முடியாது. 2 இல் பயன்படுத்தப்படுவது போல, “என்பது” என்பது ஒரு சாயப்பட்ட உறவைக் குறிக்கிறது-அதாவது அடையாளம் - இரு நபர்களுக்கிடையில் இந்த முன்மொழிவு வலியுறுத்துகிறது. ஒரு அடையாள முன்மொழிவு இந்த சூழலில் இதை விட அதிகமாக இல்லை என்று புரிந்து கொள்ள வேண்டும்; குறிப்பாக இரண்டு பெயரிடும் வெளிப்பாடுகள் ஒரே பொருளைக் கொண்டுள்ளன என்று வலியுறுத்துவதில்லை. இந்த கடைசி புள்ளியை விளக்குவதற்கு மிகவும் விவாதிக்கப்பட்ட உதாரணம் "காலை நட்சத்திரம் மாலை நட்சத்திரம்." “காலை நட்சத்திரம்” மற்றும் “மாலை நட்சத்திரம்” ஆகிய வெளிப்பாடுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கின்றன என்பது தவறானது, ஆனால் முந்தையது குறிப்பிடப்பட்ட பொருள் பிந்தையது (வீனஸ் கிரகம்) குறிப்பிட்டதைப் போன்றது என்பது உண்மைதான்.

அடையாள முன்மொழிவுகளின் வடிவங்களை வெளிப்படுத்த, எல்.பி.சி.க்கு ஒரு சாயல் முன்கணிப்பு மாறிலி சேர்க்கப்படுகிறது, இதற்காக மிகவும் வழக்கமான குறியீடு = (இதற்கு முன் எழுதப்பட்டதை விட, அதன் வாதங்களுக்கு இடையில் எழுதப்பட்டுள்ளது). X = y இன் நோக்கம் என்னவென்றால், x என்பது y க்கு ஒத்த தனிநபர், மற்றும் மிகவும் வசதியான வாசிப்பு “x என்பது y உடன் ஒத்ததாகும்.” அதன் மறுப்பு x (x = y) பொதுவாக x ≠ y என சுருக்கமாக அழைக்கப்படுகிறது. முன்னர் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு எல்பிசி மாதிரியின் வரையறைக்கு (எல்பிசியில் செல்லுபடியாகும் மேலே காண்க) இப்போது விதி சேர்க்கப்பட்டுள்ளது (இது நோக்கம் கொண்ட விளக்கத்துடன் வெளிப்படையான வழியில் ஒத்துப்போகிறது) x = y இன் மதிப்பு 1 ஆக இருக்க வேண்டும். டி x மற்றும் y இரண்டிற்கும் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது, இல்லையெனில் அதன் மதிப்பு 0 ஆக இருக்க வேண்டும்; செல்லுபடியாகும் முன் என வரையறுக்கப்படுகிறது. பின்வரும் சேர்த்தல்கள் (அல்லது சில சமமானவை) எல்பிசிக்கான அச்சு அடிப்படையிலான அடிப்படையில் செய்யப்படுகின்றன: ஆக்சியம் x = x மற்றும் ஆக்சியம் ஸ்கீமா, அங்கு a மற்றும் b ஆகியவை எந்தவொரு தனிப்பட்ட மாறிகள் மற்றும் α மற்றும் w ஆகியவை wffs ஆகும், அதில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன, ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இடங்கள் a a இன் இலவச நிகழ்வைக் கொண்டிருக்கின்றன, b b இன் இலவச நிகழ்வைக் கொண்டுள்ளது, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) என்பது ஒரு கோட்பாடு. அத்தகைய அமைப்பு அடையாளத்துடன் குறைந்த-முன்கணிப்பு-கால்குலஸ் என அழைக்கப்படுகிறது; "எல்பிசியின் நீட்டிப்புகள்" இல் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட பிற வழிகளில் இது மேலும் அதிகரிக்கப்படலாம், இந்த விஷயத்தில் எந்த வார்த்தையும் = இன் வாதமாக இருக்கலாம்.

அடையாளம் என்பது ஒரு சமநிலை உறவு; அதாவது, இது பிரதிபலிப்பு, சமச்சீர் மற்றும் இடைநிலை. அதன் நிர்பந்தமான தன்மை நேரடியாக x = x என்ற ஆக்சியத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் அதன் சமச்சீர்நிலை மற்றும் பரிமாற்றத்தை வெளிப்படுத்தும் கோட்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்ட அடிப்படையிலிருந்து எளிதாக பெறப்படலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட சொத்தை வைத்திருக்கும் பொருட்களின் எண்ணிக்கையைப் பற்றி எல்.பி.சி-உடன் அடையாளத்துடன் சில wffs எக்ஸ்பிரஸ் முன்மொழிவுகள். “குறைந்தது ஒரு விஷயம் ϕ” என்பது நிச்சயமாக (∃x) ϕx ஆல் வெளிப்படுத்தப்படலாம்; “குறைந்தது இரண்டு தனித்துவமான (தற்செயலான) விஷயங்கள் ϕ” இப்போது (∃x) () y) (ϕx · ϕy · x ≠ y) ஆல் வெளிப்படுத்தப்படலாம்; மற்றும் வரிசை ஒரு வெளிப்படையான வழியில் தொடர முடியும். “அதிகபட்சம் ஒன்று is” (அதாவது, “இரண்டு வேறுபட்ட விஷயங்களும் இரண்டும் இல்லை ϕ”) கடைசியாக குறிப்பிடப்பட்ட wff இன் நிராகரிப்பு அல்லது அதற்கு சமமான (∀x) () y) [(ϕx ·)) Y) x = y], மற்றும் வரிசை மீண்டும் எளிதாக தொடரலாம். “குறைந்தது ஒரு விஷயம் ϕ” மற்றும் “அதிகபட்சம் ஒன்று ϕ” என்பதற்கான சூத்திரங்களை இணைப்பதன் மூலம் “சரியாக ஒரு விஷயம் is” க்கான சூத்திரத்தைப் பெறலாம், ஆனால் இந்த இணைப்பிற்கு சமமான ஒரு எளிய wff (∃x) [ϕx · () y) (ϕy ⊃ x = y)], இதன் பொருள் “ஒன்று is உள்ளது, மற்றும் எதுவுமே that அதுதான்.” “சரியாக இரண்டு விஷயங்கள் ϕ” என்ற கருத்தை (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)] by ஆல் குறிக்கலாம்; அதாவது, “ஒவ்வொன்றிலும் இரண்டு தற்செயலான விஷயங்கள் உள்ளன, மற்றும் எதுவுமே one இவை ஒன்று அல்லது மற்றொன்று.” ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணிற்கும் n “சரியாக n விஷயங்கள் are” என்பதற்கான சூத்திரத்தை வழங்க இந்த வரிசையை நீட்டிக்க முடியும் என்பது தெளிவாகிறது. “சரியாக ஒன்று ϕ” முதல் (∃! X) ϕx க்கு wff ஐ சுருக்கமாக சொல்வது வசதியானது. இந்த சிறப்பு அளவுகோல் அடிக்கடி “E-Shriek x” என்று சத்தமாக வாசிக்கப்படுகிறது.

திட்டவட்டமான விளக்கங்கள்

ஒரு குறிப்பிட்ட சொத்து one ஒரே ஒரு பொருளுக்கு சொந்தமானதாக இருக்கும்போது, ​​அந்த பொருளுக்கு பெயரிடும் ஒரு வெளிப்பாடு இருப்பது வசதியானது. இந்த நோக்கத்திற்கான ஒரு பொதுவான குறியீடானது (ιx) ϕx, இது “இருக்கும் விஷயம்” அல்லது இன்னும் சுருக்கமாக “the” என்று படிக்கப்படலாம். பொதுவாக, a என்பது எந்தவொரு தனிப்பட்ட மாறியாகவும், any எந்த wff ஆகவும் இருந்தால், (ιa) α பின்னர் ஒரு உண்மையான மதிப்பைக் குறிக்கிறது α உண்மை. "அப்படியானது" வடிவத்தின் வெளிப்பாடு ஒரு திட்டவட்டமான விளக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது; மற்றும் (ιx), ஒரு விளக்க ஆபரேட்டர் என அழைக்கப்படுகிறது, ஒரு முன்மொழிவு வடிவத்திலிருந்து ஒரு நபரின் பெயரை உருவாக்குவதாக கருதலாம். (ιx) ஒரு அளவீட்டுக்கு ஒத்ததாக இருக்கிறது, இது ஒரு wff to உடன் முன்னொட்டாக இருக்கும்போது, ​​x இல் x இன் ஒவ்வொரு இலவச நிகழ்வையும் பிணைக்கிறது. பிணைக்கப்பட்ட மாறிகள் மீண்டும் மாற்றுவது அனுமதிக்கப்படுகிறது; எளிமையான வழக்கில், (ιx) ϕx மற்றும் () y) eachy ஒவ்வொன்றையும் “the” என்று வெறுமனே படிக்கலாம்.

உருவாக்கம் விதிகளைப் பொருத்தவரை, படிவத்தின் வெளிப்பாடுகளை (ιa) terms சொற்களாக எண்ணுவதன் மூலம் திட்டவட்டமான விளக்கங்களை எல்பிசியில் இணைக்க முடியும்; விதி 1 ′ மேலே, “எல்பிசியின் நீட்டிப்புகள்” இல், பின்னர் அவை அணு சூத்திரங்களில் (அடையாள சூத்திரங்கள் உட்பட) நிகழ அனுமதிக்கும். “Φ என்பது (அதாவது, சொத்து உள்ளது) then” பின்னர் ψ (ιx) ϕx என வெளிப்படுத்தலாம்; “Y என்பது (அதே தனிநபர்) ϕ” y = (ιx) ϕx; “((Individualx) ϕx = () y) asy என (” (அதே தனிநபர்); மற்றும் முன்னும் பின்னுமாக.

திட்டவட்டமான விளக்கங்களைக் கொண்ட முன்மொழிவுகளின் சரியான பகுப்பாய்வு கணிசமான தத்துவ சர்ச்சைக்கு உட்பட்டது. எவ்வாறாயினும், பரவலாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட ஒரு கணக்கு, கணிசமாக பிரின்சிபியா கணிதத்தில் முன்வைக்கப்பட்டது மற்றும் ரஸ்ஸலின் விளக்கக் கோட்பாடு என அழைக்கப்படுகிறது - “தி ϕ என்பது ψ” என்பது ஒரு விஷயம் என்று அர்த்தம் என்று புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும் that அதுவும் விஷயம் holds. அவ்வாறான நிலையில், எல்.பி.சி-உடன் அடையாளத்துடன் ஒரு wff ஆல் வெளிப்படுத்தப்படலாம், அவை எந்த விளக்க ஆபரேட்டர்களையும் கொண்டிருக்கவில்லை - அதாவது, (1) (∃x) [ϕx · () y) (ϕy ⊃ x = y) ψ ψx]. ஒப்பீட்டளவில், “y என்பது ϕ” என்பது “y is else மற்றும் வேறு எதுவும் is” என பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது, எனவே (2) ϕy · (∀x) (ϕx x = y) ஆல் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. “Φ என்பது ψ” என்பது “சரியாக ஒன்று ϕ, சரியாக ஒன்று ψ, எது ϕ என்பது as” என பகுப்பாய்வு செய்யப்படுகிறது, எனவே (3) (∃x) [ϕx · () y) (y ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · () y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ψx). ψ (x) ϕx, y = (ιx) ϕx மற்றும் (ιx) ϕx = (ιy) theny பின்னர் முறையே (1), (2) மற்றும் (3) க்கான சுருக்கங்களாகக் கருதலாம்; மேலும் சிக்கலான நிகழ்வுகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துவதன் மூலம், விளக்க ஆபரேட்டர்களைக் கொண்டிருக்கும் அனைத்து wff களும் நீண்ட wffs இன் சுருக்கமாக கருதப்படலாம்.

(1 to என்பதற்கு ஒரு சூத்திரமாக (1) வழிவகுக்கும் பகுப்பாய்வு “தி ϕ அல்ல ψ” க்கு பின்வருவனவற்றிற்கு வழிவகுக்கிறது: (4) (∃x) [ϕx · () y) (ϕy ⊃ x = y) ∼ψ ∼ψx]. (4) (1) இன் மறுப்பு அல்ல என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்; இந்த மறுப்பு, அதற்கு பதிலாக, (5) ∼ (∃x) [ϕx · () y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. (4) மற்றும் (5) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான அர்த்தத்தில் உள்ள வேறுபாடு என்னவென்றால், (4) சரியாக ஒரு விஷயம் இருக்கும்போது மட்டுமே அது உண்மை thing மற்றும் அது இல்லை ψ, ஆனால் (5) இந்த விஷயத்திலும் உண்மை எதுவும் இல்லாதபோது all ஒன்றும் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட விஷயங்களும் இருக்கும்போது. (4) மற்றும் (5) ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைப் புறக்கணிப்பது சிந்தனையின் கடுமையான குழப்பத்தை ஏற்படுத்தும்; சாதாரண பேச்சில் ϕ என்று மறுக்கும் ஒருவர் சரியாக ஒரு விஷயம் என்று ஒப்புக்கொள்கிறாரா ϕ ஆனால் அது இல்லை என்று மறுக்கிறாரா, அல்லது சரியாக ஒரு விஷயம் என்பதை மறுக்கிறாரா என்பது அடிக்கடி தெளிவாகத் தெரியவில்லை.

ரஸ்ஸலின் விளக்கக் கோட்பாட்டின் அடிப்படை கருத்து என்னவென்றால், ஒரு திட்டவட்டமான விளக்கத்தைக் கொண்ட ஒரு முன்மொழிவு, அந்த விளக்கம் ஒரு பெயராக இருக்கும் ஒரு பொருளைப் பற்றிய ஒரு கூற்றாகக் கருதப்படக்கூடாது, மாறாக ஒரு குறிப்பிட்ட (மாறாக சிக்கலான) சொத்து இருப்பதாகக் கூறப்படும் இருத்தலியல் அளவீடு ஒரு உதாரணம். முறையாக, இது மேலே கோடிட்டுக் காட்டப்பட்ட விளக்க ஆபரேட்டர்களை அகற்றுவதற்கான விதிகளில் பிரதிபலிக்கிறது.