ரைமான் கருதுகோள், எண் கோட்பாட்டில், ஜேர்மன் கணிதவியலாளர் பெர்ன்ஹார்ட் ரைமனின் கருதுகோள், ரைமான் ஜீட்டா செயல்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் இருப்பிடம் குறித்து, இது முதன்மை எண் தேற்றத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் பிரதான எண்களின் விநியோகத்திற்கு முக்கியமான தாக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. நவம்பர் 1859 பதிப்பில் மொனாட்ஸ்பெரிச் டெர் பெர்லினர் அகாடமி (“மாதாந்திர விமர்சனம் பெர்லின் அகாடமியின் ”).
ஸீட்டா செயல்பாடு எல்லையற்ற தொடர் ζ வரையறுக்கப்படுகிறது (ங்கள்) = 1 +2 -s +3 -s +4 -s + ⋯, அல்லது, மிகவும் கச்சிதமான குறியீட்டில், , n இன் சொற்களின் கூட்டுத்தொகை (Σ) நேர்மறை முழு எண் மற்றும் கள் வழியாக 1 முதல் முடிவிலி வரை இயங்குகிறது. இது 1 ஐ விட அதிகமான நிலையான நேர்மறை முழு எண் ஆகும். ஜீட்டா செயல்பாடு 18 ஆம் நூற்றாண்டில் சுவிஸ் கணிதவியலாளர் லியோன்ஹார்ட் யூலர் முதன்முதலில் ஆய்வு செய்தார். (இந்த காரணத்திற்காக, இது சில நேரங்களில் யூலர் ஜீட்டா செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. Series (1) க்கு, இந்தத் தொடர் வெறுமனே இணக்கமான தொடராகும், இது பழங்காலத்தில் இருந்து வரம்பில்லாமல் அதிகரிக்கும் என்று அறியப்படுகிறது-அதாவது, அதன் தொகை எல்லையற்றது.) யூலர் உடனடி புகழை அடைந்தபோது 1735 இல் நிரூபிக்கப்பட்ட என்று ζ (2) = π 2 /6, சுவிஸ் பெர்னோல்லியின் குடும்பம் (ஜேகப், ஜோஹன், மற்றும் டேனியல்) உட்பட சகாப்தத்தின் மாபெரும் கணிதவியலாளர்கள், eluded என்று ஒரு பிரச்சனை. மிகவும் பொதுவாக, யூலர் கண்டுபிடித்தது (1739) முழு எண்களுக்கான ஜீடா செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கும் பெர்ன lli லி எண்களுக்கும் இடையிலான உறவை கண்டுபிடித்தது, அவை டெய்லர் தொடர் x / (e x - 1) விரிவாக்கத்தின் குணகங்களாகும். (அதிவேக செயல்பாட்டையும் காண்க.) இன்னும் ஆச்சரியமாக, 1737 ஆம் ஆண்டில் யூலார் ஜீட்டா செயல்பாட்டைப் பற்றிய ஒரு சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடித்தார், இதில் நேர்மறை முழு எண்களைக் கொண்ட எல்லையற்ற வரிசை சொற்களையும், ஒவ்வொரு பிரதான எண்ணையும் உள்ளடக்கிய எல்லையற்ற தயாரிப்பு:
X + iy என்ற சிக்கலான எண்களைச் சேர்க்க ஜீட்டா செயல்பாட்டின் ஆய்வை ரைமான் விரிவுபடுத்தினார், இங்கு i = 1 இன் சதுர வேர், சிக்கலான விமானத்தில் x = 1 என்ற வரியைத் தவிர. ஜீடா செயல்பாடு அனைத்து எதிர்மறை முழு எண் −2, −4, −6,
(அற்ப பூஜ்ஜியங்கள் என்று அழைக்கப்படுபவை) மற்றும் x = 0 மற்றும் x = 1 கோடுகளுக்கு இடையில் கண்டிப்பாக விழும் சிக்கலான எண்களின் முக்கியமான பட்டியில் அது எண்ணற்ற பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதையும் அவர் அறிந்திருந்தார், மேலும் அனைத்து அசாதாரண பூஜ்ஜியங்களும் சமச்சீர் என்பதை அவர் அறிந்திருந்தார். விமர்சன வரி x = 1 / 2. ரைமான் அனைத்து பூஜ்ஜியங்களும் முக்கியமான வரியில் இருப்பதாக கருதினார், இது ஒரு கருத்து பின்னர் ரைமான் கருதுகோள் என்று அறியப்பட்டது.
1914 இல் ஆங்கிலேய கணித காட்ஃபிரே ஹரோல்ட் ஹார்டி = ζ தீர்வுகளை (கள்) எண்ணற்ற விமர்சன வரி x = 0 இரண்டும் இருக்கக் என்று நிரூபித்தது 1 / 2. பின்னர் பல்வேறு கணிதவியலாளர்களால் தீர்வுகள் ஒரு பெரிய பகுதியானது முக்கியமான வரியில் இருக்க வேண்டும் என்று காட்டப்பட்டது, இருப்பினும் அனைத்து வழக்கத்திற்கு மாறான தீர்வுகளும் அதில் உள்ளன என்பதற்கான அடிக்கடி "சான்றுகள்" குறைபாடுடையவை. தீர்வுகளைச் சோதிக்க கணினிகளும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன, முதல் 10 டிரில்லியன் அல்லாத தீர்வுகள் முக்கியமான வரிசையில் இருப்பதாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது.
ரைமான் கருதுகோளின் ஒரு சான்று எண் கோட்பாட்டிற்கும் குறியாக்கவியலில் ப்ரைம்களைப் பயன்படுத்துவதற்கும் நீண்டகால விளைவுகளை ஏற்படுத்தும்.
ரைமான் கருதுகோள் நீண்ட காலமாக கணிதத்தில் தீர்க்கப்படாத மிகப்பெரிய பிரச்சினையாகக் கருதப்படுகிறது. ஆகஸ்ட் 8, 1900 இல் பாரிஸில் நடந்த இரண்டாவது சர்வதேச கணித காங்கிரசில் ஜேர்மன் கணிதவியலாளர் டேவிட் ஹில்பர்ட் 20 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர்களுக்கு ஒரு சவாலாக வழங்கப்பட்ட 10 தீர்க்கப்படாத கணித சிக்கல்களில் இதுவும் ஒன்றாகும் (2000 அச்சிடப்பட்ட முகவரியில்). 2000 ஆம் ஆண்டில் அமெரிக்க கணிதவியலாளர் ஸ்டீபன் 21 ஆம் நூற்றாண்டின் முக்கியமான சிக்கல்களின் பட்டியலுடன் ஸ்மால் ஹில்பெர்ட்டின் யோசனையை புதுப்பித்தார்; ரைமான் கருதுகோள் முதலிடத்தில் இருந்தது. 2000 ஆம் ஆண்டில் இது ஒரு மில்லினியம் சிக்கல் என்று பெயரிடப்பட்டது, இது அமெரிக்காவின் கேம்பிரிட்ஜ், மாஸ், களிமண் கணித நிறுவனம் தேர்வு செய்த ஏழு கணித சிக்கல்களில் ஒன்றாகும். ஒவ்வொரு மில்லினியம் சிக்கலுக்கும் தீர்வு million 1 மில்லியன் மதிப்புடையது. 2008 ஆம் ஆண்டில் அமெரிக்க பாதுகாப்பு மேம்பட்ட ஆராய்ச்சி திட்ட முகமை (தர்பா) இதை தர்பா கணித சவால்களில் ஒன்றாக பட்டியலிட்டது, இது 23 கணித சிக்கல்களுக்கு நிதியளிப்பதற்கான ஆராய்ச்சி திட்டங்களை கோரியது - “கணித சவால் பத்தொன்பது: ரைமான் கருதுகோளை அமைத்தல். எண் கோட்பாட்டின் ஹோலி கிரெயில்."
