லூனின் இருபடி

சியோஸின் ஹிப்போகிரேட்ஸ் (fl. C. 460 bc) வட்ட வளைவுகளுக்கு இடையில் சந்திரன் வடிவ பகுதிகள், லுன்ஸ் என அழைக்கப்படுகின்றன, அவை ஒரு செவ்வக பகுதி அல்லது இருபடி என சரியாக வெளிப்படுத்தப்படலாம் என்பதை நிரூபித்தன. பின்வரும் எளிய வழக்கில், வலது முக்கோணத்தின் பக்கங்களைச் சுற்றி உருவாக்கப்பட்ட இரண்டு சந்திரன்கள் முக்கோணத்திற்கு சமமான ஒருங்கிணைந்த பகுதியைக் கொண்டுள்ளன.

1. வலது ΔABC உடன் தொடங்கி, ஒரு வட்டத்தை வரையவும், அதன் விட்டம் AB (பக்க c), ஹைபோடென்யூஸுடன் ஒத்துப்போகிறது. வட்டத்தின் விட்டம் கொண்டு வரையப்பட்ட எந்த வலது முக்கோணமும் அதன் ஹைப்போடென்ஸுக்கு வட்டத்திற்குள் பொறிக்கப்பட வேண்டும், சி வட்டத்தில் இருக்க வேண்டும்.

2. படத்தில் உள்ளதைப் போல ஏசி (பக்க பி) மற்றும் கிமு (பக்க அ) விட்டம் கொண்ட அரை வட்டங்களை வரையவும்.

3. இதன் விளைவாக வரும் எல் ₁ மற்றும் எல் ₂ மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் பிரிவுகளான எஸ் ₁ மற்றும் எஸ் _{2 ஆகியவற்றை} லேபிளில் லேபிளிடுங்கள்.

4. இப்போது சந்திரன்களின் கூட்டுத்தொகை (எல் ₁ மற்றும் எல் ₂) அரை வட்டங்களின் (எல் ₁ + எஸ் ₁ மற்றும் எல் ₂ + எஸ் ₂) இரு பிரிவுகளைக் (எஸ் ₁ மற்றும் எஸ் ₂) கழிப்பதைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இவ்வாறு, எல் ₁ + எல் ₂ = ^π / ₂ (^பி / ₂) ² - எஸ் ₁ + ^π / ₂ (^அ / ₂) ² - எஸ் ₂ (ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு ஆரம் சதுரத்தின் மடங்கு என்பதால்).

5. பிரிவுகளின் கூட்டுத்தொகை (எஸ் ₁ மற்றும் எஸ் ₂) முக்கோணத்தின் பரப்பளவில் ஏபி மைனஸை அடிப்படையாகக் கொண்ட அரை வட்டத்தின் பரப்பிற்கு சமம். இவ்வாறு, S ₁ + S ₂ = ^π / ₂ (^c / ₂) ² - ΔABC.

6. படி 5 இல் உள்ள வெளிப்பாட்டை படி 4 க்கு மாற்றுவது மற்றும் பொதுவான சொற்களை காரணியாக்குவது, எல் ₁ + எல் ₂ = ^π / ₈ (ஒரு ² + பி ² - சி ²) + Δ ஏபிசி.

7. ∠ACB = 90 From என்பதால், பித்தகோரியன் தேற்றத்தால் ² + b ² - c ² = 0. இவ்வாறு, L ₁ + L ₂ = ΔABC.

   ஹிப்போகிரேட்ஸ் பல வகையான சந்திரன்களை சதுரமாக்க முடிந்தது, சில வளைவுகளில் அரை வட்டங்களை விட பெரியது மற்றும் குறைவாக இருந்தது, மேலும் அவர் நம்பவில்லை என்றாலும், அவரது முறை முழு வட்டத்தையும் சதுரப்படுத்த முடியும் என்று அவர் தெரிவித்தார். கிளாசிக்கல் யுகத்தின் முடிவில், போக்ஷியஸ் (சி. விளம்பரம் 470–524), யூக்லிட்டின் துணுக்குகளின் லத்தீன் மொழிபெயர்ப்புகள் அரை மில்லினியத்திற்கு வடிவவியலின் ஒளியை ஒளிரச் செய்யும், யாரோ வட்டத்தின் சதுரத்தை நிறைவேற்றியதாகக் குறிப்பிட்டார். தெரியாத மேதை லூன்களைப் பயன்படுத்தினாரா அல்லது வேறு ஏதேனும் ஒரு முறை அறியப்படவில்லை, ஏனென்றால் இடம் இல்லாததால் போதியஸ் ஆர்ப்பாட்டத்தை கொடுக்கவில்லை. இதனால் அவர் வட்டத்தின் நால்வரின் சவாலை வடிவியல் துண்டுகள் மற்றும் அதைச் செய்வதற்கு பயனுள்ளதாக இருந்தது. ஐரோப்பியர்கள் மகிழ்ச்சியற்ற பணியை அறிவொளியில் வைத்திருந்தனர். இறுதியாக, 1775 ஆம் ஆண்டில், பாரிஸ் அகாடமி ஆஃப் சயின்சஸ், சமர்ப்பித்த பல தீர்வுகளில் உள்ள தவறுகளை கண்டுபிடிக்கும் பணியைக் கண்டு மிரண்டு, வட்ட சதுரங்களுடன் மேலும் எதுவும் செய்ய மறுத்துவிட்டது.