பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு கணிதம்

பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு, கணிதத்தில், பல மாறிகளின் செயல்பாட்டை அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்புடைய சமன்பாடு. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் ஒரு பகுதியளவு வழித்தோன்றல் அதன் மாறிகளில் ஒன்று மாறும்போது செயல்பாடு எவ்வளவு விரைவாக மாறுகிறது என்பதை வெளிப்படுத்துகிறது, மற்றவை நிலையானதாக இருக்கும் (சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டை ஒப்பிடுக). ஒரு செயல்பாட்டின் பகுதியளவு வழித்தோன்றல் மீண்டும் ஒரு செயல்பாடு, மற்றும், f (x, y) x மற்றும் y மாறிகளின் அசல் செயல்பாட்டைக் குறித்தால், x to ஐப் பொறுத்தவரை பகுதி வழித்தோன்றல், அதாவது x மட்டுமே மாறுபட அனுமதிக்கப்படும் போது - பொதுவாக f _x என எழுதப்படுகிறது(x, y) அல்லது ∂f / ∂x. ஒரு பகுதி வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான செயல்பாடு, இரண்டாவது வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல் எனப்படுவதைப் பெறுவதற்கு மற்றொரு செயல்பாட்டின் ஒரு பகுதியளவு வழித்தோன்றலாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாட்டிற்குப் பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, y ஐப் பொறுத்தவரை f _x (x, y) இன் பகுதியளவு வழித்தோன்றலை எடுத்துக்கொள்வது f _xy (x, y) அல்லது ∂ ² f / ∂y∂x என்ற புதிய செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறது. பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் வரிசை மற்றும் பட்டம் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கு சமமாக வரையறுக்கப்படுகின்றன.

பகுப்பாய்வு: பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

18 ஆம் நூற்றாண்டு முதல், இயற்பியல் அறிவியலில் எழும் சிக்கல்களுக்கு கணிதக் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துவதில் பெரும் முன்னேற்றம் ஏற்பட்டது:

பொதுவாக, பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளை தீர்ப்பது கடினம், ஆனால் நுட்பங்கள் நேரியல் எனப்படும் எளிய வகுப்புகளின் சமன்பாடுகளுக்காகவும், “கிட்டத்தட்ட” நேரியல் என அழைக்கப்படும் வகுப்புகளுக்காகவும் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன, இதில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வரிசையின் அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் முதல் சக்திக்கு நிகழ்கின்றன அவற்றின் குணகங்கள் சுயாதீன மாறிகள் மட்டுமே அடங்கும்.

பல உடல் ரீதியாக முக்கியமான பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள் இரண்டாவது வரிசை மற்றும் நேரியல். உதாரணத்திற்கு:

• u _xx + u _yy = 0 (இரு பரிமாண லேப்ளேஸ் சமன்பாடு)

• u _xx = u _t (ஒரு பரிமாண வெப்ப சமன்பாடு)

• u _xx - u _yy = 0 (ஒரு பரிமாண அலை சமன்பாடு)

அத்தகைய சமன்பாட்டின் நடத்தை au _xx + bu _xy + cu _yy இன் a, b, மற்றும் c ஆகிய குணகங்களை பெரிதும் சார்ந்துள்ளது. அவை முறையே b ² - 4ac <0, b ² - 4ac = 0, அல்லது b ² - 4ac> 0 என நீள்வட்ட, பரவளைய அல்லது ஹைபர்போலிக் சமன்பாடுகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. இவ்வாறு, லாப்லேஸ் சமன்பாடு நீள்வட்டமாகவும், வெப்ப சமன்பாடு பரவளையமாகவும், அலை சமன்பாடு ஹைபர்போலிக் ஆகும்.