கணிதத்தின் அடித்தளங்கள்

வகை கோட்பாடு

கணிதத்தில் சுருக்கம்

கணிதத்தின் வளர்ச்சியில் ஒரு சமீபத்திய போக்கு படிப்படியாக சுருக்கத்தின் செயல்முறையாகும். ஐந்தாவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகளை பொதுவாக தீவிரவாதிகள் தீர்க்க முடியாது என்பதை நோர்வே கணிதவியலாளர் நீல்ஸ் ஹென்ரிக் ஆபெல் (1802-29) நிரூபித்தார். பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் arvariste கலோயிஸ் (1811-32), ஆபெலின் படைப்புகளால் ஒரு பகுதியாக உந்துதல் பெற்றார், ஒரு பல்லுறுப்புறுப்பு சமன்பாடு தீர்க்கப்பட வேண்டிய தேவையான நிலைமைகளைத் தீர்மானிக்க சில வரிசைமாற்றங்களை அறிமுகப்படுத்தினார். இந்த கான்கிரீட் குழுக்கள் விரைவில் சுருக்கக் குழுக்களுக்கு வழிவகுத்தன, அவை அச்சுரீதியாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. குழுக்களைப் படிப்பதற்கு வெவ்வேறு குழுக்களுக்கிடையேயான தொடர்பைப் பார்ப்பது அவசியம் என்பதை உணரப்பட்டது-குறிப்பாக, குழு செயல்பாடுகளைப் பாதுகாக்கும் போது ஒரு குழுவை மற்றொரு குழுவாக வரைபடப்படுத்தும் ஹோமோமார்பிஸங்களில். இதனால் மக்கள் இப்போது குழுக்களின் கான்கிரீட் வகை என்று அழைக்கப்படுவதைப் படிக்கத் தொடங்கினர், அதன் பொருள்கள் குழுக்கள் மற்றும் அம்புகள் ஹோமோமார்பிஸங்கள். கான்கிரீட் வகைகளை சுருக்க வகைகளால் மாற்றுவதற்கு அதிக நேரம் எடுக்கவில்லை, மீண்டும் அச்சுரீதியாக விவரிக்கப்பட்டது.

ஒரு வகையின் முக்கியமான கருத்து இரண்டாம் உலகப் போரின் முடிவில் சாமுவேல் ஐலன்பெர்க் மற்றும் சாண்டர்ஸ் மேக் லேன் ஆகியோரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இந்த நவீன வகைகளை அரிஸ்டாட்டில் வகைகளிலிருந்து வேறுபடுத்த வேண்டும், அவை தற்போதைய சூழலில் வகைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு வகைக்கு இடையில் பொருள்கள் மட்டுமல்ல, அம்புகளும் உள்ளன (அவை உருவங்கள், மாற்றங்கள் அல்லது மேப்பிங்ஸ் என்றும் குறிப்பிடப்படுகின்றன).

பல கட்டமைப்புகள் மற்றும் அம்புகள் கொண்ட பொருள்களின் தொகுப்பாக பல பிரிவுகள் உள்ளன, அவை இந்த கட்டமைப்பைப் பாதுகாக்கின்றன. எனவே, செட் (வெற்று அமைப்புடன்) மற்றும் மேப்பிங்ஸ், குழுக்கள் மற்றும் குழு-ஹோமோமார்பிஸங்கள், மோதிரங்கள் மற்றும் மோதிர-ஹோமோமார்பிஸங்கள், திசையன் இடைவெளிகள் மற்றும் நேரியல் மாற்றங்கள், இடவியல் இடங்கள் மற்றும் தொடர்ச்சியான மேப்பிங் மற்றும் பல வகைகள் உள்ளன. வகைகளுக்கிடையேயான உருவங்கள் என அழைக்கப்படுவதால், இன்னும் சிறிய அளவிலான, (சிறிய) பிரிவுகள் மற்றும் செயல்பாட்டாளர்களின் வகை கூட உள்ளது, அவை பொருள்கள் மற்றும் அம்புகளுக்கிடையேயான உறவுகளைப் பாதுகாக்கின்றன.

எல்லா வகைகளையும் இந்த உறுதியான வழியில் பார்க்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு விலக்கு முறையின் சூத்திரங்கள் ஒரு வகையின் பொருள்களாகக் காணப்படலாம், அதன் அம்புகள் f: A B என்பது A இலிருந்து B இன் கழிவுகள் ஆகும். உண்மையில், கோட்பாட்டு கணினி அறிவியலில் இந்தக் கண்ணோட்டம் முக்கியமானது, அங்கு சூத்திரங்கள் கருதப்படுகின்றன செயல்பாடுகள் என வகைகள் மற்றும் கழிவுகள்.

இன்னும் முறையாக, ஒரு வகை (1) A, B, C,…, (2) சேகரிப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு ஆர்டர் செய்யப்பட்ட ஜோடி பொருள்களுக்கும் அடையாளம் I _A ∶ A A, மற்றும் (3) வகைப்படுத்தப்பட்ட ஒவ்வொரு பொருள்களின் மூன்று பொருள்களுக்கான கலவை தொடர்பான சட்டம். f A → B மற்றும் g ∶ B → C கலவை gf (அல்லது g ○ f) என்பது A இலிருந்து C to அதாவது gf ∶ A → C க்கு மாற்றமாகும். கூடுதலாக, துணை சட்டம் மற்றும் அடையாளங்கள் வைத்திருக்க வேண்டும் (எங்கே இசைப்பாடல்கள் வரையறுக்கப்படுகிறது) -ie, மணி (GF) = (HG) f மற்றும் 1 உள்ளன _பி ஊ = F1 = ஊ _ஒரு.

ஒரு விதத்தில், ஒரு சுருக்க வகையின் பொருள்களுக்கு லீப்னிஸின் மொனாட்களைப் போல ஜன்னல்கள் இல்லை. ஒரு பொருளின் உட்புறத்தை ஊகிக்க ஒருவருக்கு மற்ற பொருள்களிலிருந்து ஏ வரையிலான அனைத்து அம்புகளையும் மட்டுமே பார்க்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, செட் வகைகளில், ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் A இல் அமைக்கப்பட்ட ஒரு பொதுவான ஒரு உறுப்பிலிருந்து அம்புகளால் குறிக்கப்படலாம். இதேபோல், சிறிய வகைகளின் பிரிவில், 1 என்பது ஒரு பொருளைக் கொண்ட வகையாகவும், தற்செயலான அம்புகள் இல்லாமலும் இருந்தால், ஒரு வகை A இன் பொருள்கள் 1 → A என்ற ஃபன்க்டர்களுடன் அடையாளம் காணப்படலாம். மேலும், 2 என்பது இரண்டு பொருள்கள் மற்றும் ஒரு தற்செயலான அம்பு கொண்ட வகையாக இருந்தால், A இன் அம்புகள் 2 → A என்ற ஃபங்க்டர்களுடன் அடையாளம் காணப்படலாம்.

ஐசோமார்பிக் கட்டமைப்புகள்

ஒரு அம்புக்குறி ஊ: → ஒரு தலைகீழிக்கு ஊ அதாவது, அத்தகைய இருப்பதாகவும், g ○ ஊ = 1 பி: ஒரு → பி ஒரு அம்பு கிராம் இருந்தால் ஒரு ஓரினச்சார்பு அழைக்கப்படுகிறது _ஒரு மற்றும் எஃப் ○ கிராம் = 1 _பி. இது A ≅ B என எழுதப்பட்டுள்ளது, மேலும் A மற்றும் B ஐசோமார்பிக் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அதாவது அவை அடிப்படையில் ஒரே கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளன என்பதையும் அவற்றுக்கு இடையில் வேறுபாடு காட்ட வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதையும் குறிக்கிறது. கணித நிறுவனங்கள் வகைகளின் பொருள்கள் என்பதால், அவை ஐசோமார்பிசம் வரை மட்டுமே வழங்கப்படுகின்றன. அவற்றின் பாரம்பரிய தொகுப்பு-தத்துவார்த்த நிர்மாணங்கள், நிலைத்தன்மையைக் காண்பிப்பதில் ஒரு பயனுள்ள நோக்கத்திற்காக சேவை செய்வதைத் தவிர, உண்மையில் பொருத்தமற்றவை.

எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண்களின் வளையத்தின் வழக்கமான கட்டுமானத்தில், ஒரு முழு எண் இயற்கையான எண்களின் ஜோடிகளின் (மீ, என்) சமமான வகுப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இங்கு (மீ, என்) (மீ ′, என் ′) சமம் மற்றும் இருந்தால் m + n ′ = m ′ + n என்றால் மட்டுமே. (M, n) இன் சமநிலை வகுப்பை m - n ஆக பார்க்க வேண்டும் என்பது கருத்து. எவ்வாறாயினும், ஒரு வகைப்படுத்தியவருக்கு முக்கியமானது என்னவென்றால், முழு எண்ணின் வளையம் மோதிரங்கள் மற்றும் ஒத்திசைவுகளின் வகையின் ஆரம்ப பொருளாகும் is அதாவது ஒவ்வொரு வளையத்திற்கும் ஒரு தனித்துவமான ஹோமோமார்பிசம் உள்ளது ℤ. இந்த வழியில் பார்த்தால், is ஐசோமார்பிசம் வரை மட்டுமே வழங்கப்படுகிறது. அதே மனப்பான்மையில், பகுத்தறிவு எண்களின் field துறையில் உள்ளது that என்று கூறக்கூடாது, ஆனால் ஹோமோமார்பிசம் ℤ → one ஒன்றுக்கு ஒன்று என்று மட்டுமே கூற வேண்டும். அதேபோல், both மற்றும் 1 இன் சதுர மூலத்தின் செட்-தத்துவார்த்த குறுக்குவெட்டு பற்றி பேசுவதில் அர்த்தமில்லை, இரண்டும் செட் தொகுப்பாக (விளம்பர முடிவிலி) வெளிப்படுத்தப்பட்டால்.

அஸ்திவாரங்களில் சிறப்பு ஆர்வம் மற்றும் பிற இடங்களில் அட்ஜெண்ட் ஃபங்க்டர்கள் (எஃப், ஜி) உள்ளன. இவை two மற்றும் two ஆகிய இரண்டு வகைகளுக்கு இடையிலான ஜோடி ஃபன்க்டர்கள் ஆகும், அவை எதிர் திசைகளில் செல்கின்றன, அதாவது எஃப் (ஏ) → பி அம்புகள் மற்றும் அம்புகளின் தொகுப்பு ஏ → ஜி (பி) in in இல், அதாவது செட் ஐசோமார்பிக் ஆகும்.