ரைமான் ஜீட்டா செயல்பாடு, பிரதான எண்களின் பண்புகளை விசாரிக்க எண் கோட்பாட்டில் பயனுள்ள செயல்பாடு. Ζ (x) என எழுதப்பட்ட இது முதலில் எல்லையற்ற தொடர் ζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + as என வரையறுக்கப்பட்டது. X = 1 ஆக இருக்கும்போது, இந்தத் தொடர் ஹார்மோனிக் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது கட்டுப்படாமல் அதிகரிக்கிறது - அதாவது, அதன் தொகை எல்லையற்றது. 1 ஐ விட பெரிய x இன் மதிப்புகளுக்கு, தொடர்ச்சியான சொற்கள் சேர்க்கப்படுவதால் தொடர் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணாக மாறுகிறது. X 1 க்கும் குறைவாக இருந்தால், தொகை மீண்டும் எல்லையற்றது. ஜீடா செயல்பாடு 1737 இல் சுவிஸ் கணிதவியலாளர் லியோன்ஹார்ட் யூலருக்குத் தெரிந்தது, ஆனால் இது முதலில் ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் பெர்ன்ஹார்ட் ரைமனால் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்பட்டது.
1859 ஆம் ஆண்டில் ரைமான் ஒரு முன்மொழியப்பட்ட வரம்பு வரை ப்ரைம்களின் எண்ணிக்கையில் வெளிப்படையான சூத்திரத்தைக் கொடுக்கும் ஒரு ஆய்வறிக்கையை வெளியிட்டார்-இது முதன்மை எண் தேற்றத்தால் வழங்கப்பட்ட தோராயமான மதிப்பை விட தீர்மானிக்கப்பட்ட முன்னேற்றம். இருப்பினும், ரைமனின் சூத்திரம் ஜீடா செயல்பாட்டின் பொதுவான பதிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான மதிப்புகளை அறிந்து கொள்வதைப் பொறுத்தது. (ரைமான் ஜீடா செயல்பாடு x + iy வடிவத்தின் அனைத்து சிக்கலான எண்களுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது, இங்கு x = 1 என்ற வரியைத் தவிர i = 1 இன் சதுர வேர் - 1) இந்த செயல்பாடு அனைத்து எதிர்மறைக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை ரைமான் அறிந்திருந்தார் முழு எண் −2, −4, −6,
(அற்ப பூஜ்ஜியங்கள் என்று அழைக்கப்படுபவை), மேலும் இது x = 0 மற்றும் x = 1 கோடுகளுக்கு இடையில் உள்ள சிக்கலான எண்களின் முக்கியமான பட்டியில் எண்ணற்ற பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதையும், மேலும் அனைத்து நாணயமற்ற பூஜ்ஜியங்களும் முக்கியமானவற்றுடன் சமச்சீர் என்பதையும் அவர் அறிந்திருந்தார். வரி x = 1 / 2. ரைமான் அனைத்து பூஜ்ஜியங்களும் முக்கியமான வரியில் இருப்பதாக கருதினார், இது ஒரு கருத்து பின்னர் ரைமான் கருதுகோள் என்று அறியப்பட்டது.
1900 ஆம் ஆண்டில் ஜேர்மன் கணிதவியலாளர் டேவிட் ஹில்பர்ட் ரைமன் கருதுகோளை அனைத்து கணிதத்திலும் மிக முக்கியமான கேள்விகளில் ஒன்றாக அழைத்தார், இது 20 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர்களுக்கு சவால் விடுத்த 23 தீர்க்கப்படாத சிக்கல்களின் அவரது செல்வாக்குமிக்க பட்டியலில் சேர்க்கப்பட்டதன் மூலம் சுட்டிக்காட்டப்பட்டுள்ளது. 1915 ஆம் ஆண்டில், ஆங்கில கணிதவியலாளர் காட்ஃப்ரே ஹார்டி எண்ணற்ற பூஜ்ஜியங்கள் முக்கியமான வரியில் நிகழ்கின்றன என்பதை நிரூபித்தார், மேலும் 1986 வாக்கில் முதல் 1,500,000,001 நாட்ரிவல் பூஜ்ஜியங்கள் அனைத்தும் விமர்சனக் கோட்டில் இருப்பதாகக் காட்டப்பட்டது. கருதுகோள் இன்னும் தவறானதாக மாறினாலும், இந்த கடினமான பிரச்சினையின் விசாரணைகள் சிக்கலான எண்களைப் புரிந்துகொள்வதை வளப்படுத்தியுள்ளன.
