தொடர்ச்சியான கருதுகோள் கணிதம்

தொடர்ச்சியான கருதுகோள், உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு (தொடர்ச்சி) என்பது ஒரு பொருளில் சிறியதாக இருக்கும் என்று தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் அறிக்கை. 1873 ஆம் ஆண்டில், ஜேர்மன் கணிதவியலாளர் ஜார்ஜ் கேன்டர் தொடர்ச்சியானது கணக்கிட முடியாதது என்பதை நிரூபித்தார்-அதாவது, உண்மையான எண்கள் எண்ணும் எண்களை விட பெரிய முடிவிலி-இது கணித பாடமாக தொகுப்புக் கோட்பாட்டைத் தொடங்குவதற்கான முக்கிய விளைவாகும். மேலும், கேன்டர் அதன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை அல்லது அதன் கார்டினலிட்டிக்கு ஏற்ப எல்லையற்ற தொகுப்புகளின் அளவை வகைப்படுத்தும் ஒரு வழியை உருவாக்கியது. (தொகுப்புக் கோட்பாட்டைக் காண்க: கார்டினலிட்டி மற்றும் டிரான்ஸ்ஃபைனைட் எண்கள்.) இந்த சொற்களில், தொடர்ச்சியான கருதுகோளை பின்வருமாறு கூறலாம்: தொடர்ச்சியின் கார்டினலிட்டி என்பது கணக்கிட முடியாத மிகச்சிறிய கார்டினல் எண்.

தொகுப்பு கோட்பாடு: கார்டினலிட்டி மற்றும் டிரான்ஸ்ஃபைனைட் எண்கள்

தொடர்ச்சியான கருதுகோள் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு கருத்து.

கேன்டரின் குறியீட்டில், தொடர்ச்சியான கருதுகோளை 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁ என்ற எளிய சமன்பாட்டின் மூலம் ^{கூறலாம்}, இங்கு ℵ ₀ என்பது எல்லையற்ற எண்ணக்கூடிய தொகுப்பின் கார்டினல் எண் (இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு போன்றவை) மற்றும் பெரிய கார்டினல் எண்கள் “ நன்கு ஒழுங்குபடுத்தக்கூடிய தொகுப்புகள் ”are ₁, ℵ ₂,

, ℵ _α,

, ஆர்டினல் எண்களால் குறியிடப்படுகிறது. தொடர்ச்சியின் கார்டினலிட்டி 2 ^{ℵ ₀} க்கு சமமாகக் காட்டப்படலாம்; எனவே, தொடர்ச்சியான கருதுகோள் இயற்கை எண்களுக்கும் தொடர்ச்சிக்கும் இடையில் ஒரு அளவு அளவு இடைநிலை இருப்பதை நிராகரிக்கிறது.

2: ஒரு வலுவான அறிக்கை பரவிய தொடர்ச்சி கூற்றின்படி (GCH) ஆகும் ^{ℵ _α} = ℵ _{α +1} ஒவ்வொரு வரிசையெண்ணுக்குரியவை எண் α உள்ளது. போலந்து கணிதவியலாளர் வக்காவ் சியர்பிஸ்கி, ஜி.சி.எச் மூலம் ஒருவர் விருப்பத்தின் கோட்பாட்டைப் பெற முடியும் என்பதை நிரூபித்தார்.

விருப்பத்தின் கோட்பாட்டைப் போலவே, ஆஸ்திரியாவில் பிறந்த அமெரிக்க கணிதவியலாளர் கர்ட் கோடெல் 1939 இல் நிரூபித்தார், மற்ற நிலையான ஜெர்மலோ-ஃபிராங்கல் கோட்பாடுகள் (ZF; ஐப் பார்க்கவும்

அட்டவணை) சீரானவை, பின்னர் அவை தொடர்ச்சியான கருதுகோளை அல்லது ஜி.சி.எச். அதாவது, GCH ஐ மற்ற கோட்பாடுகளில் சேர்ப்பதன் விளைவாக சீராக இருக்கும். 1963 ஆம் ஆண்டில், அமெரிக்க கணிதவியலாளர் பால் கோஹன், ZF சீரானது என்ற அனுமானத்தின் கீழ், ZF தொடர்ச்சியான கருதுகோளின் ஆதாரத்தை அளிக்கவில்லை என்பதைக் காண்பிப்பதன் மூலம் படத்தை முடித்தார்.

தொடர்ச்சியான கருதுகோளை ZF நிரூபிக்கவில்லை அல்லது நிரூபிக்கவில்லை என்பதால், என்ன தொகுப்புகள் என்ற முறைசாரா கருத்தின் அடிப்படையில் தொடர்ச்சியான கருதுகோளை ஏற்கலாமா என்ற கேள்வி உள்ளது. கணித சமூகத்தில் பொதுவான பதில் எதிர்மறையானது: தொடர்ச்சியான கருதுகோள் என்பது ஒரு வரம்பை விதிக்க அறியப்பட்ட காரணங்கள் இல்லாத சூழலில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அறிக்கை. தொகுப்பு கோட்பாட்டில், எண்களைக் ℵ ஒவ்வொரு தொகுப்பும் அதிகாரம்-செட் செயல்படும் ஒதுக்குகிறது _α இது உள்ளது எண்களைக் 2 அனைத்து உட்கணங்களும் அதன் தொகுப்பு, ^{ℵ _α}. எல்லையற்ற தொகுப்பில் இருக்கக்கூடிய பல்வேறு துணைக்குழுக்களுக்கு ஒரு வரம்பை விதிக்க எந்த காரணமும் இல்லை என்று தெரிகிறது.