வரைபடக் கோட்பாட்டின் பயன்பாடுகள்
பிளானர் வரைபடங்கள்
ஒரு வரைபடத்தில் ஜி ஒரு விமானத்தில் குறிப்பிடப்படுமானால் அது பிளானர் என்று கூறப்படுகிறது, இது செங்குத்துகள் அனைத்தும் தனித்துவமான புள்ளிகள், விளிம்புகள் எளிய வளைவுகள், மற்றும் இரண்டு முனைகளும் அவற்றின் முனையங்களில் தவிர ஒன்றையொன்று சந்திப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, படம் 4 ஏ காண்பிப்பது போல, கே 4, நான்கு செங்குத்துகளில் முழுமையான வரைபடம், பிளானர் ஆகும்.
விளிம்புகளின் துணைப்பிரிவுகளால் இரண்டையும் ஒரே வரைபடத்திலிருந்து பெற முடியுமானால் இரண்டு வரைபடங்கள் ஹோமியோமார்பிக் என்று கூறப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, படம் 4 ஏ மற்றும் படம் 4 பி ஆகியவற்றில் உள்ள வரைபடங்கள் ஹோமியோமார்பிக் ஆகும்.
K m, n வரைபடம் என்பது ஒரு வரைபடமாகும், இதற்காக வெர்டெக்ஸ் தொகுப்பை இரண்டு துணைக்குழுக்களாக பிரிக்கலாம், ஒன்று மீ செங்குத்துகள் மற்றும் மற்றொன்று n செங்குத்துகளுடன். ஒரே துணைக்குழுவின் எந்த இரண்டு செங்குத்துகளும் பொருத்தமற்றவை, அதே சமயம் வெவ்வேறு துணைக்குழுக்களின் எந்த இரண்டு செங்குத்துகளும் அருகில் உள்ளன. 1930 இல் போலந்து கணிதவியலாளர் காசிமியர்ஸ் குராடோவ்ஸ்கி பின்வரும் பிரபலமான தேற்றத்தை நிரூபித்தார்:
ஒரு வரைபடம் ஜி பிளானராக இருக்க தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், படம் 5 இல் காட்டப்பட்டுள்ள கே 5 அல்லது கே 3,3 க்கு ஒரு துணை ஹோமொமார்பிக் இல்லை.
ஒரு வரைபடத்தின் அடிப்படை சுருக்கம் G ஐ ஒரு புதிய வரைபடம் G 1 ஆக மாற்றுவதாகும், அதாவது U மற்றும் G இன் இரண்டு அருகிலுள்ள செங்குத்துகள் G 1 இல் ஒரு புதிய வெர்டெக்ஸால் மாற்றப்படுகின்றன, மேலும் W 1 G 1 இல் அனைத்து செங்குத்துகளுக்கும் அருகில் உள்ளது இது ஜி அல்லது ஜி-க்கு அருகில் உள்ளது. அடிப்படை சுருக்கங்களின் வரிசையால் ஜி * ஐ ஜி இலிருந்து பெற முடியுமானால் ஜி * ஒரு ஜி சுருக்கமாகும். 1937 இல் ஜேர்மன் கணிதவியலாளர் கே. வாக்னர் காரணமாக ஒரு பிளானர் வரைபடத்தின் மற்றொரு தன்மை பின்வருமாறு.
ஒரு வரைபடம் K 5 அல்லது K 3,3 உடன் முரண்படாவிட்டால் மட்டுமே அது பிளானர் ஆகும்.
நான்கு வண்ண வரைபட சிக்கல்
ஒரு நூற்றாண்டுக்கும் மேலாக நான்கு வண்ண வரைபடப் பிரச்சினையின் தீர்வு அதை முயற்சித்த ஒவ்வொரு ஆய்வாளரையும் தவிர்த்தது. இந்த பிரச்சினை மெபியஸின் கவனத்தை ஈர்த்திருக்கலாம், ஆனால் அதைப் பற்றிய முதல் எழுதப்பட்ட குறிப்பு ஒரு பிரான்சிஸ் குத்ரி 1852 ஆம் ஆண்டில் அகஸ்டஸ் டி மோர்கனின் மாணவரான அவரது சகோதரருக்கு எழுதிய கடிதமாகத் தெரிகிறது.
சிக்கல் பிளானர் வரைபடங்களைப் பற்றியது-அதாவது, எளிய மூடிய வளைவுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட எல்லையற்ற பகுதிகளாக விமானத்தின் உட்பிரிவுகள். புவியியல் வரைபடங்களில், முயற்சித்த பல சிறப்பு நிகழ்வுகளில், பிராந்தியங்களை வண்ணமயமாக்குவதற்கு அதிகபட்சம் நான்கு வண்ணங்கள் தேவைப்படுகின்றன, இதனால் பொதுவான எல்லையைப் பகிர்ந்து கொள்ளும் இரண்டு பகுதிகள் எப்போதும் வித்தியாசமாக வண்ணமயமாக்கப்படுகின்றன, மற்றும் இல் குறைந்தது நான்கு வண்ணங்கள் அவசியமான சில சந்தர்ப்பங்கள். (அமெரிக்காவின் கொலராடோ மற்றும் அரிசோனா மாநிலங்கள் போன்ற ஒரு கட்டத்தில் மட்டுமே சந்திக்கும் பிராந்தியங்கள் பொதுவான எல்லையாக கருதப்படவில்லை). இந்த அனுபவ அவதானிப்பை முறைப்படுத்துவது "நான்கு வண்ண தேற்றம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு பிளானர் வரைபடத்திற்கும் இதுதான் என்ற கூற்றை நிரூபிக்க அல்லது நிரூபிப்பதே சிக்கல். மூன்று வண்ணங்கள் போதுமானதாக இருக்காது என்பது எளிதில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, அதேசமயம் ஐந்து வண்ணங்களின் போதுமானது 1890 ஆம் ஆண்டில் பிரிட்டிஷ் கணிதவியலாளர் பி.ஜே.ஹீவுவால் நிரூபிக்கப்பட்டது.
1879 ஆம் ஆண்டில் ஏபி கெம்பே என்ற ஆங்கிலேயர் நான்கு வண்ணப் பிரச்சினைக்கு ஒரு தீர்வை முன்மொழிந்தார். கெம்பேவின் வாதம் குறைபாடுடையது என்று ஹீவுட் காட்டிய போதிலும், அதன் இரண்டு கருத்துக்கள் பிற்கால விசாரணையில் பலனளித்தன. இவற்றில் ஒன்று, தவிர்க்க முடியாதது என அழைக்கப்படுகிறது, நான்கு உள்ளமைவுகளில் ஒவ்வொன்றும் இல்லாத ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதற்கான சாத்தியமற்ற தன்மையை சரியாகக் கூறுகிறது (இந்த உள்ளமைவுகள் இரண்டு அண்டை நாடுகளைக் கொண்ட ஒரு பகுதியைக் கொண்டிருக்கின்றன, ஒன்று மூன்று, ஒன்று நான்கு, மற்றும் ஐந்து ஐக் கொண்டது). இரண்டாவது கருத்து, குறைக்கக்கூடியது, குறைந்தது ஐந்து வண்ணங்கள் தேவைப்படும் ஒரு வரைபடம் இருந்தால் மற்றும் நான்கு (அல்லது மூன்று அல்லது இரண்டு) அண்டை நாடுகளைக் கொண்ட ஒரு பிராந்தியத்தைக் கொண்டிருந்தால், ஐந்து தேவைப்படும் வரைபடம் இருக்க வேண்டும் என்பதற்கு கெம்பேவின் சரியான சான்றிலிருந்து அதன் பெயரைப் பெறுகிறது. குறைந்த எண்ணிக்கையிலான பகுதிகளுக்கான வண்ணங்கள். ஐந்து அண்டை நாடுகளைக் கொண்ட ஒரு வரைபடத்தைக் குறைப்பதை நிரூபிக்க கெம்பே எடுத்த முயற்சி தவறானது, ஆனால் இது 1976 ஆம் ஆண்டில் கென்னத் அப்பெல் மற்றும் அமெரிக்காவின் வொல்ப்காங் ஹக்கன் ஆகியோரால் வெளியிடப்பட்ட ஒரு சான்றில் திருத்தப்பட்டது. அவற்றின் ஆதாரம் சில விமர்சனங்களை ஈர்த்தது, ஏனெனில் இது 1,936 தனித்துவமான வழக்குகளின் மதிப்பீட்டை அவசியமாக்கியது, ஒவ்வொன்றும் 500,000 தர்க்கரீதியான செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கியது. அப்பெல், ஹேக்கன் மற்றும் அவர்களது கூட்டுப்பணியாளர்கள் ஒரு பெரிய டிஜிட்டல் கணினிக்கு இந்த விவரங்களைக் கையாளக்கூடிய திட்டங்களை வகுத்தனர். பணியைச் செய்ய கணினிக்கு 1,000 மணி நேரத்திற்கும் மேலாக தேவைப்படுகிறது, இதன் விளைவாக முறையான ஆதாரம் பல நூறு பக்கங்கள் நீளமானது.
யூலரியன் சுழற்சிகள் மற்றும் கோனிக்ஸ்பெர்க் பாலம் சிக்கல்
ஒரு மல்டிகிராஃப் ஜி ஒரு வெற்று அல்லாத செட் வி (ஜி) செங்குத்துகளையும், ஒவ்வொரு ஜோடிக்கும் இணைக்கப்பட்ட அதிர்வெண் எஃப் ≥ 1 உடன் வி (ஜி) இன் தனித்துவமான தனிமங்களின் வரிசைப்படுத்தப்படாத ஜோடிகளின் தொகுப்பின் துணைக்குழு ஈ (ஜி) ஐ கொண்டுள்ளது. அதிர்வெண் f உடன் ஜோடி (x 1, x 2) E (G) க்கு சொந்தமானது என்றால், x 1 மற்றும் x 2 ஆகிய செங்குத்துகள் f விளிம்புகளால் இணைக்கப்படுகின்றன.
மல்டிகிராஃப் ஜி இன் யூலரியன் சுழற்சி என்பது ஒரு மூடிய சங்கிலியாகும், இதில் ஒவ்வொரு விளிம்பும் சரியாக ஒரு முறை தோன்றும். ஒரு மல்டிகிராஃப் ஒரு யூலரியன் சுழற்சியைக் கொண்டிருப்பதாக யூலர் காட்டினார், அது இணைக்கப்பட்டிருந்தால் மட்டுமே (தனிமைப்படுத்தப்பட்ட புள்ளிகளைத் தவிர) மற்றும் ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை பூஜ்ஜியம் அல்லது இரண்டு ஆகும்.
இந்த சிக்கல் முதலில் பின்வரும் முறையில் எழுந்தது. ப்ரீகல் நதி, அதன் இரண்டு கிளைகளின் சங்கமத்தால் உருவானது, கோனிக்ஸ்பெர்க் நகரத்தின் வழியாக ஓடி, நைஃபோஃப் தீவின் இருபுறமும் பாய்கிறது. படம் 6A இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி ஏழு பாலங்கள் இருந்தன. ஒரு நடைக்குச் சென்று ஒவ்வொரு பாலத்தையும் ஒரு முறை மட்டுமே கடக்க முடியுமா என்று நகர மக்கள் ஆச்சரியப்பட்டனர். படம் 6 பி இல் மல்டிகிராஃபிற்கான யூலரியன் சுழற்சியைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு இது சமம். ஒற்றைப்படை வரிசையின் நான்கு செங்குத்துகள் இருப்பதால் யூலர் அதை சாத்தியமற்றது என்று காட்டினார்.
