பகுப்பாய்வு வரலாறு
கிரேக்கர்கள் தொடர்ச்சியான அளவுகளை எதிர்கொள்கின்றனர்
பகுப்பாய்வு என்பது கணிதத்தின் அந்த பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது, இதில் தொடர்ச்சியான மாற்றம் முக்கியமானது. இயக்கம் பற்றிய ஆய்வு மற்றும் மென்மையான வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளின் வடிவியல் ஆகியவை இதில் அடங்கும்-குறிப்பாக, தொடுகோடுகள், பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளின் கணக்கீடு. பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர்கள் பகுப்பாய்வு கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறை இரண்டிலும் பெரும் முன்னேற்றம் கண்டனர். பைத்தகோரியன் பகுத்தறிவற்ற அளவைக் கண்டுபிடித்ததன் மூலம் கோட்பாடு 500 பி.சி. மற்றும் ஜெனோவின் இயக்க முரண்பாடுகளால் சுமார் 450 பி.சி.
பித்தகோரியர்கள் மற்றும் பகுத்தறிவற்ற எண்கள்
ஆரம்பத்தில், பித்தகோரியர்கள் எல்லாவற்றையும் தனித்துவமான இயற்கை எண்களால் அளவிட முடியும் என்று நம்பினர் (1, 2, 3,
) மற்றும் அவற்றின் விகிதங்கள் (சாதாரண பின்னங்கள் அல்லது பகுத்தறிவு எண்கள்). எவ்வாறாயினும், ஒரு யூனிட் சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தை (அதாவது 1 பக்கங்களின் நீளம் கொண்ட சதுரம்) ஒரு பகுத்தறிவு எண்ணாக வெளிப்படுத்த முடியாது என்ற கண்டுபிடிப்பால் இந்த நம்பிக்கை அதிர்ந்தது. இந்த கண்டுபிடிப்பு அவர்களின் சொந்த பித்தகோரியன் தேற்றத்தால் கொண்டு வரப்பட்டது, இது ஒரு சரியான முக்கோணத்தின் ஹைபோடென்யூஸில் உள்ள சதுரம் மற்ற இரு பக்கங்களிலும் உள்ள சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நிறுவியது modern நவீன குறியீட்டில், c 2 = a 2 + b 2. ஒரு அலகு சதுக்கத்தில், மூலைவிட்டமானது ஒரு சரியான முக்கோணத்தின் ஹைபோடென்யூஸ் ஆகும், பக்கங்களும் a = b = 1; எனவே, அதன் அளவானது சதுர வேர் √2 - ஒரு பகுத்தறிவற்ற எண். தங்கள் சொந்த நோக்கங்களுக்கு எதிராக, பித்தகோரியர்கள் இதன் மூலம் எளிய வடிவியல் பொருள்களைக் கூட அளவிட பகுத்தறிவு எண்கள் போதுமானதாக இல்லை என்பதைக் காட்டியிருந்தனர். (பக்கப்பட்டியைப் பார்க்கவும்: பொருத்தமற்றது.) யூக்லிட்டின் கூறுகளின் புத்தகம் II இல் (சி. 300 பிசி) காணப்படும் வரி பிரிவுகளின் எண்கணிதத்தை உருவாக்குவதே அவர்களின் எதிர்வினை, இதில் பகுத்தறிவு எண்களின் வடிவியல் விளக்கம் இருந்தது. கிரேக்கர்களைப் பொறுத்தவரை, வரிப் பகுதிகள் எண்களைக் காட்டிலும் பொதுவானவை, ஏனென்றால் அவை தொடர்ச்சியான மற்றும் தனித்துவமான அளவுகளைக் கொண்டிருந்தன.
உண்மையில், 2 இன் சதுர வேர் எல்லையற்ற செயல்முறை மூலம் மட்டுமே பகுத்தறிவு எண்களுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கும். பகுத்தறிவு எண்கள் மற்றும் வரி பிரிவுகளின் எண்கணிதத்தை ஆய்வு செய்த யூக்லிட் இதை உணர்ந்தார். அவரது புகழ்பெற்ற யூக்ளிடியன் வழிமுறை, ஒரு ஜோடி இயற்கை எண்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படும்போது, அவற்றின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பிக்கு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான படிகளில் செல்கிறது. இருப்பினும், சதுர வேர் √2 மற்றும் 1 போன்ற பகுத்தறிவற்ற விகிதத்துடன் ஒரு ஜோடி வரி பிரிவுகளுக்குப் பயன்படுத்தும்போது, அது நிறுத்தத் தவறிவிடுகிறது. யூக்லிட் இந்த உறுதியற்ற சொத்தை பகுத்தறிவின்மைக்கான அளவுகோலாகப் பயன்படுத்தினார். எனவே, பகுத்தறிவின்மை எண்ணற்ற கிரேக்க கருத்தை சவால் செய்தது, எல்லையற்ற செயல்முறைகளைச் சமாளிக்க கட்டாயப்படுத்தியது.
ஜீனோவின் முரண்பாடுகள் மற்றும் இயக்கத்தின் கருத்து
கிரேக்கர்களின் எண்ணின் கருத்துக்கு சதுர வேர் 2 ஒரு சவாலாக இருந்ததைப் போலவே, ஜெனோவின் முரண்பாடுகளும் அவற்றின் இயக்கக் கருத்துக்கு ஒரு சவாலாக இருந்தன. தனது இயற்பியலில் (சி. 350 பிசி), அரிஸ்டாட்டில் ஜெனோவை மேற்கோள் காட்டி:
எந்த இயக்கமும் இல்லை, ஏனென்றால் நகர்த்தப்பட்டவை இறுதியில் வருவதற்கு முன்பு [நிச்சயமாக] நடுவில் வர வேண்டும்.
ஜீனோவின் வாதங்கள் அரிஸ்டாட்டில் மூலமாக மட்டுமே அறியப்படுகின்றன, அவை முக்கியமாக அவற்றை மறுக்க மேற்கோள் காட்டின. மறைமுகமாக, ஜெனோ என்பதன் பொருள், எங்கும் செல்ல, ஒருவர் முதலில் பாதி வழியில் செல்ல வேண்டும், அதற்கு நான்கில் ஒரு பங்கிற்கு முன்பும், அந்த எட்டாவது ஒரு வழிக்கு முன்னும் பின்னும். தூரத்தை பாதிக்கும் இந்த செயல்முறை முடிவிலிக்குச் செல்லும் என்பதால் (கிரேக்கர்கள் முடிந்தவரை ஏற்றுக்கொள்ள மாட்டார்கள் என்ற கருத்து), யதார்த்தம் மாறாத தன்மையைக் கொண்டுள்ளது என்பதை "நிரூபிக்க" ஜெனோ கூறினார். இருப்பினும், முடிவிலியை வெறுக்கிற போதிலும், தொடர்ச்சியான அளவுகளின் கணிதத்தில் இந்த கருத்து இன்றியமையாதது என்று கிரேக்கர்கள் கண்டறிந்தனர். எனவே அவர்கள் முடிவிலி பற்றி முடிந்தவரை இறுதியாக, ஒரு தர்க்கரீதியான கட்டமைப்பில் விகிதாச்சாரக் கோட்பாடு மற்றும் சோர்வு முறையைப் பயன்படுத்துகிறார்கள்.
விகிதாச்சாரக் கோட்பாடு யூடோக்ஸஸால் 350 பி.சி. பற்றி உருவாக்கப்பட்டது மற்றும் யூக்லிட்டின் கூறுகளின் புத்தக V இல் பாதுகாக்கப்படுகிறது. பகுத்தறிவு அளவுகள் மற்றும் தன்னிச்சையான அளவுகள் ஆகியவற்றுக்கு இடையில் இது ஒரு துல்லியமான உறவை ஏற்படுத்தியது, அவை இரண்டு அளவுகளை சமமாகக் கருதினால் அவற்றை விடக் குறைவான பகுத்தறிவு அளவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவற்றுக்கிடையே கண்டிப்பாக ஒரு பகுத்தறிவு அளவு இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு அளவுகள் வேறுபட்டன. இந்த வரையறை இரண்டு ஆயிரம் ஆண்டுகளாக கணிதவியலாளர்களுக்கு சேவை செய்தது மற்றும் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் பகுப்பாய்வின் எண்கணிதமயமாக்கலுக்கு வழி வகுத்தது, இதில் பகுத்தறிவு எண்களின் அடிப்படையில் தன்னிச்சையான எண்கள் கடுமையாக வரையறுக்கப்பட்டன. விகிதாச்சாரக் கோட்பாடு என்பது வரம்புகள் என்ற கருத்தின் முதல் கடுமையான சிகிச்சையாகும், இது நவீன பகுப்பாய்வின் மையத்தில் உள்ளது. நவீன சொற்களில், யூடோக்ஸஸின் கோட்பாடு தன்னிச்சையான அளவுகளை பகுத்தறிவு அளவுகளின் வரம்புகள் என வரையறுத்தது, மற்றும் அளவு, வேறுபாடு மற்றும் அளவுகளின் தயாரிப்பு பற்றிய அடிப்படை கோட்பாடுகள் தொகை, வேறுபாடு மற்றும் வரம்புகளின் தயாரிப்பு பற்றிய கோட்பாடுகளுக்கு சமமானவை.
