விண்வெளி நேரத்தில் ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன்

யூக்ளிடியன் வடிவியல்

யூக்ளிடியன் வடிவவியலைக் கருத்தில் கொண்டால், அது கடுமையான உடல்களின் நிலைகளை ஒழுங்குபடுத்தும் சட்டங்களைக் குறிக்கிறது என்பதை நாம் தெளிவாகக் காண்கிறோம். உடல்கள் மற்றும் அவற்றின் உறவினர் நிலைகள் தொடர்பான அனைத்து உறவுகளையும் "தூரம்" (ஸ்ட்ரெக்) என்ற மிக எளிய கருத்தாக்கத்திற்குக் கண்டுபிடிப்பதற்கான தனித்துவமான சிந்தனையை இது கணக்கிடுகிறது. தூரம் என்பது ஒரு உறுதியான உடலைக் குறிக்கிறது, அதில் இரண்டு பொருள் புள்ளிகள் (மதிப்பெண்கள்) குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன. தூரங்களின் சமத்துவம் (மற்றும் கோணங்கள்) என்பது தற்செயல் நிகழ்வுகளை உள்ளடக்கிய சோதனைகளை குறிக்கிறது; அதே கருத்துக்கள் ஒற்றுமை பற்றிய கோட்பாடுகளுக்கும் பொருந்தும். இப்போது, ​​யூக்ளிடியிலிருந்து எங்களுக்கு ஒப்படைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் யூக்ளிடியன் வடிவியல், அடிப்படைக் கருத்துக்களான “நேர் கோடு” மற்றும் “விமானம்” ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துகிறது, அவை ஒத்ததாகத் தெரியவில்லை, அல்லது எந்த வகையிலும், நேரடியாக அல்ல, அனுபவங்களுடன் கடுமையான உடல்களின் நிலை குறித்து. இது குறித்து நேர் கோட்டின் கருத்து தூரத்திற்குக் குறைக்கப்படலாம் என்பதைக் குறிப்பிட வேண்டும்.^[1] மேலும், ஆரம்பத்தில் அறிவிக்கப்பட்ட ஒரு சில கோட்பாடுகளிலிருந்து வடிவியல் முன்மொழிவுகளை தர்க்கரீதியாகக் குறைப்பதை விட, வடிவவியலாளர்கள் தங்கள் அடிப்படைக் கருத்துகளின் தொடர்பை அனுபவத்திற்குக் கொண்டுவருவதில் அக்கறை காட்டவில்லை.

யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படையானது தூரத்தின் கருத்தாக்கத்திலிருந்து எவ்வாறு பெறப்படலாம் என்பதை சுருக்கமாக கோடிட்டுக் காட்டுவோம்.

நாம் தூரங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து தொடங்குகிறோம் (தூரங்களின் சமத்துவத்தின் கோட்பாடு). இரண்டு சமமற்ற தூரங்களில் ஒன்று எப்போதும் மற்றதை விட அதிகமாக இருக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். எண்களின் சமத்துவமின்மைக்கு பிடிக்கும் தூரங்களின் சமத்துவமின்மைக்கு அதே கோட்பாடுகள் உள்ளன.

மூன்று தூரங்களில் ஏபி ¹, கிமு ¹ கலிபோர்னியா ¹ கூடும் கலிபோர்னியா என்றால் ¹ பொருத்தமான தேர்வு செய்யப்பட, தங்களுடைய முத்திரைகள் பிபி வேண்டும் ¹, சிசி ¹, ஏஏ ¹ ஒருவரையொருவர் மீது superposed போன்ற ஒரு வழியில் ஒரு முக்கோணம் ஏபிசி முடிவுகளை என்று. CA ¹ என்ற தூரத்திற்கு இந்த வரம்பு உள்ளது, அதற்காக இந்த கட்டுமானம் இன்னும் சாத்தியமாகும். A, (BB ') மற்றும் C புள்ளிகள் பின்னர் “நேர் கோட்டில்” (வரையறை) உள்ளன. இது கருத்துகளுக்கு வழிவகுக்கிறது: தனக்கு சமமான தொகையால் தூரத்தை உருவாக்குகிறது; தூரத்தை சம பாகங்களாக பிரித்தல்; ஒரு அளவீட்டு-தடி (இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான இடைவெளி-இடைவெளியின் வரையறை) மூலம் எண்ணின் அடிப்படையில் தூரத்தை வெளிப்படுத்துகிறது.

இரண்டு புள்ளிகளுக்கிடையேயான இடைவெளியின் கருத்து அல்லது தூரத்தின் நீளம் இந்த வழியில் பெறப்படும்போது, ​​யூக்ளிடியன் வடிவவியலை பகுப்பாய்வு ரீதியாக வருவதற்கு பின்வரும் கோட்பாடு (பித்தகோரஸ் தேற்றம்) மட்டுமே நமக்குத் தேவைப்படுகிறது.

ஒவ்வொரு புள்ளிகளுக்கும் (குறிப்பு அமைப்பு) மூன்று எண்கள் (ஒருங்கிணைப்புகள்) x, y, z ஒதுக்கப்படலாம் - மற்றும் நேர்மாறாக each ஒவ்வொரு ஜோடி புள்ளிகளுக்கும் A (x ₁, y ₁, z ₁) மற்றும் B (x ₂, y ₂, z ₂) தேற்றம் கொண்டுள்ளது:

அளவீட்டு எண் AB = sqroot {(x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² + (z ₂ - z ₁) ² }.

யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் மேலும் அனைத்து கருத்துகளும் முன்மொழிவுகளும் இந்த அடிப்படையில் முற்றிலும் தர்க்கரீதியாக உருவாக்கப்படலாம், குறிப்பாக நேர் கோடு மற்றும் விமானம் பற்றிய முன்மொழிவுகளும்.

இந்த கருத்துக்கள் நிச்சயமாக, யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் கண்டிப்பான அச்சு நிர்மாணத்தை மாற்றுவதற்கான நோக்கமல்ல. வடிவவியலின் அனைத்து கருத்தாக்கங்களும் தூரத்தின் பின்னணியில் எவ்வாறு காணப்படுகின்றன என்பதை நம்பத்தகுந்த முறையில் சுட்டிக்காட்ட விரும்புகிறோம். மேலே உள்ள கடைசி தேற்றத்தில் யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் முழு அடிப்படையையும் நாம் சமமாக வெளிப்படுத்தியிருக்கலாம். அனுபவத்தின் அடித்தளங்களுக்கான தொடர்பு பின்னர் ஒரு துணை தேற்றத்தின் மூலம் வழங்கப்படும்.

பித்தகோரஸின் தேற்றத்தின் உதவியால் கணக்கிடப்பட்டபடி, சம இடைவெளிகளால் பிரிக்கப்பட்ட இரண்டு ஜோடி புள்ளிகள், ஒன்று மற்றும் ஒரே மாதிரியான தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தூரத்துடன் (ஒரு திடப்பொருளில்) ஒத்துப்போகும்படி ஒருங்கிணைக்கப்படலாம்.

யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் கருத்துகள் மற்றும் முன்மொழிவுகள் கடுமையான உடல்களை அறிமுகப்படுத்தாமல் பித்தகோரஸின் முன்மொழிவிலிருந்து பெறப்படலாம்; ஆனால் இந்த கருத்துகள் மற்றும் முன்மொழிவுகளில் சோதனை செய்யக்கூடிய உள்ளடக்கங்கள் இருக்காது. அவை “உண்மையான” முன்மொழிவுகள் அல்ல, ஆனால் முறையான உள்ளடக்கத்தின் தர்க்கரீதியாக சரியான முன்மொழிவுகள் மட்டுமே.