டயோபதான்துஸ், புனைப்பெயர் அலெக்ஸாண்டிரியா டயோபதான்துஸ் (செழித்து கேட்ச். கிபி 250), கிரேக்கம் கணித, இயற்கணிதத்திலுள்ள அவரது பணிக்காக புகழ்பெற்றவர்.
எண் கோட்பாடு: டையோபாண்டஸ்
பிற்கால கிரேக்க கணிதவியலாளர்களில், குறிப்பாக குறிப்பிடத்தக்கவர் அலெக்ஸாண்டிரியாவின் டியோபாண்டஸ் (செழிப்பான சி. 250), ஆசிரியர்
டியோபாண்டஸின் வாழ்க்கையைப் பற்றி அதிகம் அறியப்படாதது சூழ்நிலை சார்ந்ததாகும். "அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின்" முறையீட்டிலிருந்து, அவர் பண்டைய கிரேக்க உலகின் முக்கிய அறிவியல் மையத்தில் பணியாற்றினார் என்று தெரிகிறது; அவர் 4 ஆம் நூற்றாண்டுக்கு முன்னர் குறிப்பிடப்படவில்லை என்பதால், அவர் 3 ஆம் நூற்றாண்டில் வளர்ந்ததாக தெரிகிறது. பழங்காலத்தின் அந்தோலோஜியா கிரேக்காவிலிருந்து ஒரு எண்கணித எபிகிராம், அவரது வாழ்க்கையின் சில அடையாளங்களைத் திரும்பப் பெறுவதாகக் கூறப்படுகிறது (33 வயதில் திருமணம், அவரது மகனின் பிறப்பு 38, அவரது மகன் இறப்பதற்கு நான்கு ஆண்டுகளுக்கு முன்பு 84 வயதில்), திட்டமிடப்பட்டிருக்கலாம். அவரது பெயரில் இரண்டு படைப்புகள் முழுமையடையாமல் வந்துள்ளன. முதலாவது பலகோண எண்களில் ஒரு சிறிய துண்டு (ஒரு எண் பலகோணமானது, அதே எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளை வழக்கமான பலகோண வடிவில் அமைக்க முடியும் என்றால்). இரண்டாவது, டியோபாண்டஸின் பண்டைய மற்றும் நவீன புகழ் அனைத்தையும் மறுபரிசீலனை செய்யும் ஒரு பெரிய மற்றும் மிகவும் செல்வாக்குமிக்க கட்டுரை, அவரது எண்கணிதம். அதன் வரலாற்று முக்கியத்துவம் இரு மடங்கு ஆகும்: இது இயற்கணிதத்தை நவீன பாணியில் பயன்படுத்துவதற்கான முதல் அறியப்பட்ட படைப்பாகும், மேலும் இது எண் கோட்பாட்டின் மறுபிறப்பை ஊக்குவித்தது.
அரித்மெடிகா டியோனீசியஸுக்கு உரையாற்றப்பட்ட ஒரு அறிமுகத்துடன் தொடங்குகிறது Alexand அலெக்ஸாண்டிரியாவின் செயின்ட் டியோனீசியஸ். எண்களைப் பற்றிய சில பொதுவான தன்மைகளுக்குப் பிறகு, டியோபாண்டஸ் தனது குறியீட்டை விளக்குகிறார் - அவர் அறியப்படாத (எங்கள் x உடன் தொடர்புடையது) மற்றும் அதன் சக்திகள், நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை மற்றும் சில எண்கணித செயல்பாடுகளுக்கு அடையாளங்களைப் பயன்படுத்துகிறார் these இந்த சின்னங்களில் பெரும்பாலானவை தெளிவாக எழுத்தாளர் சுருக்கங்களாகும். இது 15 ஆம் நூற்றாண்டுக்கு முன்னர் இயற்கணித குறியீட்டின் முதல் மற்றும் ஒரே நிகழ்வு ஆகும். அறியப்படாத சக்திகளின் பெருக்கத்தைக் கற்பித்தபின், நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை சொற்களின் பெருக்கத்தையும் பின்னர் நேர்மறையான சொற்களைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டை எவ்வாறு குறைப்பது என்பதையும் டையோபாண்டஸ் விளக்குகிறார் (பழங்காலத்தில் விரும்பப்படும் நிலையான வடிவம்). இந்த பூர்வாங்கங்கள் வெளியேறாமல், டியோபாண்டஸ் சிக்கல்களுக்கு செல்கிறார். உண்மையில், அரித்மெடிகா என்பது அடிப்படையில் தீர்வுகளுடனான சிக்கல்களின் தொகுப்பாகும், சுமார் 260 பகுதிகள் இன்னும் உள்ளன.
இந்த படைப்பு 13 புத்தகங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்றும் அறிமுகம் கூறுகிறது. இவற்றில் ஆறு புத்தகங்கள் 15 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் ஐரோப்பாவில் அறியப்பட்டன, பைசண்டைன் அறிஞர்களால் கிரேக்க மொழியில் பரவியது மற்றும் I முதல் VI வரை எண்ணப்பட்டது; மற்ற நான்கு புத்தகங்கள் 1968 ஆம் ஆண்டில் 9 ஆம் நூற்றாண்டின் அரபு மொழிபெயர்ப்பில் குஸ் இப்னு லாகால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. இருப்பினும், அரபு உரையில் கணித குறியீட்டுவாதம் இல்லை, மேலும் இது பிற்கால கிரேக்க வர்ணனையை அடிப்படையாகக் கொண்டது-ஒருவேளை ஹைபதியாவின் (சி. 370–415) - இது டயோபாண்டஸின் வெளிப்பாட்டை நீர்த்துப்போகச் செய்தது. கிரேக்க புத்தகங்களின் எண்ணிக்கையை மாற்றியமைக்க வேண்டும் என்பதை இப்போது நாம் அறிவோம்: இதனால் எண்கணிதம் கிரேக்க மொழியில் I முதல் III புத்தகங்கள், அரபு மொழியில் IV முதல் VII வரை புத்தகங்கள் மற்றும் கிரேக்க மொழியில் VIII முதல் X வரை புத்தகங்கள் (முந்தைய கிரேக்க புத்தகங்கள் IV முதல் VI வரை)). மேலும் புதுப்பித்தல் சாத்தியமில்லை; பைசாண்டின்கள் தாங்கள் அனுப்பிய ஆறு புத்தகங்களையும், அரேபியர்கள் கருத்து தெரிவித்த பதிப்பில் I முதல் VII புத்தகங்களை விடவும் அறிந்திருக்கவில்லை என்பது மிகவும் உறுதியாக உள்ளது.
புத்தகத்தின் சிக்கல்கள் குணாதிசயமானவை அல்ல, பெரும்பாலும் இயற்கணித கணக்கீட்டை விளக்குவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் எளிய சிக்கல்கள். டையோபாண்டஸின் சிக்கல்களின் தனித்துவமான அம்சங்கள் பிற்கால புத்தகங்களில் காணப்படுகின்றன: அவை உறுதியற்றவை (ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட தீர்வுகளைக் கொண்டவை), இரண்டாவது பட்டம் கொண்டவை அல்லது இரண்டாவது பட்டம் வரை குறைக்கக்கூடியவை (மாறி சொற்களில் அதிக சக்தி 2, அதாவது x 2), மற்றும் அறியப்படாதவருக்கு நேர்மறையான பகுத்தறிவு மதிப்பை நிர்ணயிப்பதன் மூலம் முடிவடையும், இது ஒரு இயற்கணித வெளிப்பாட்டை ஒரு எண் சதுரம் அல்லது சில நேரங்களில் ஒரு கனசதுரமாக்கும். (டியோபாண்டஸ் தனது புத்தகம் முழுவதும் இப்போது நேர்மறை, பகுத்தறிவு எண்கள் என அழைக்கப்படுவதைக் குறிக்க “எண்” ஐப் பயன்படுத்துகிறார்; ஆகவே, ஒரு சதுர எண் என்பது சில நேர்மறை, பகுத்தறிவு எண்ணின் சதுரம் ஆகும்.) II மற்றும் III புத்தகங்களும் பொதுவான முறைகளைக் கற்பிக்கின்றன. புத்தகம் II இன் மூன்று சிக்கல்களில் எவ்வாறு பிரதிநிதித்துவம் செய்வது என்பது விளக்கப்பட்டுள்ளது: (1) கொடுக்கப்பட்ட எந்த சதுர எண்ணும் இரண்டு பகுத்தறிவு எண்களின் சதுரங்களின் தொகை; (2) கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு சதுரங்கள் அல்லாத எண், இது இரண்டு அறியப்பட்ட சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, மற்ற இரண்டு சதுரங்களின் தொகை; மற்றும் (3) இரண்டு சதுரங்களின் வித்தியாசமாக கொடுக்கப்பட்ட எந்த பகுத்தறிவு எண்ணும். முதல் மற்றும் மூன்றாவது சிக்கல்கள் பொதுவாகக் கூறப்பட்டாலும், இரண்டாவது சிக்கலில் ஒரு தீர்வின் அனுமான அறிவு ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு எண்ணும் இரண்டு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்ல என்பதைக் குறிக்கிறது. டையோபாண்டஸ் பின்னர் ஒரு முழு எண்ணிற்கான நிபந்தனையை அளிக்கிறது: கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையில் ஒற்றைப்படை சக்தியாக உயர்த்தப்பட்ட 4n + 3 வடிவத்தின் எந்தவொரு பிரதான காரணியும் இருக்கக்கூடாது, அங்கு n என்பது எதிர்மறை அல்லாத முழு எண். இத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகள் எண் கோட்பாட்டின் மறுபிறப்பை ஊக்குவித்தன. டியோபாண்டஸ் பொதுவாக ஒரு பிரச்சினைக்கு ஒரு தீர்வைப் பெறுவதில் திருப்தி அடைந்தாலும், எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருப்பதாக அவர் எப்போதாவது பிரச்சினைகளில் குறிப்பிடுகிறார்.
புத்தகங்களில் IV முதல் VII வரை டையோபாண்டஸ் மேலே குறிப்பிட்டுள்ள உயர் முறைகளின் சிக்கல்களுக்கு அடிப்படை முறைகளை விரிவுபடுத்துகிறது, அவை முதல் அல்லது இரண்டாம் பட்டத்தின் இருவகை சமன்பாடாகக் குறைக்கப்படலாம். இந்த புத்தகங்களின் முன்னுரைகள் வாசகருக்கு "அனுபவமும் திறமையும்" வழங்குவதே அவற்றின் நோக்கம் என்று கூறுகின்றன. இந்த சமீபத்திய கண்டுபிடிப்பு டியோபாண்டஸின் கணிதத்தைப் பற்றிய அறிவை அதிகரிக்காது என்றாலும், அது அவரது கல்வித் திறனின் மதிப்பீட்டை மாற்றுகிறது. புத்தகங்கள் VIII மற்றும் IX (மறைமுகமாக கிரேக்க புத்தகங்கள் IV மற்றும் V) மிகவும் கடினமான சிக்கல்களைத் தீர்க்கின்றன, அடிப்படை முறைகள் அப்படியே இருந்தாலும். உதாரணமாக, ஒரு சிக்கல் கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்ணை ஒன்றுக்கொன்று தன்னிச்சையாக நெருக்கமாக இருக்கும் இரண்டு சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைப்பதை உள்ளடக்குகிறது. இதேபோன்ற சிக்கல் கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்ணை மூன்று சதுரங்களின் தொகையாக சிதைப்பதை உள்ளடக்குகிறது; அதில், டியோபாண்டஸ் 8n + 7 வடிவத்தின் முழு எண்களின் சாத்தியமற்ற வழக்கை விலக்குகிறது (மீண்டும், n என்பது எதிர்மறை அல்லாத முழு எண்). புத்தகம் எக்ஸ் (மறைமுகமாக கிரேக்க புத்தகம் VI) வலது கோண முக்கோணங்களை பகுத்தறிவு பக்கங்களுடன் கையாளுகிறது மற்றும் மேலும் பல்வேறு நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டது.
அரித்மெடிகாவின் காணாமல்போன மூன்று புத்தகங்களின் உள்ளடக்கங்களை அறிமுகத்திலிருந்து ஊகிக்க முடியும், அங்கு, ஒரு சிக்கலைக் குறைப்பது “முடிந்தால்” ஒரு இருபக்க சமன்பாட்டுடன் முடிவடைய வேண்டும் என்று கூறிய பின்னர், டியோபாண்டஸ் மேலும் கூறுகையில், “பின்னர்” இந்த வழக்கை நடத்துவேன் ஒரு முக்கோண சமன்பாட்டின்-தற்போதுள்ள பகுதியில் நிறைவேற்றப்படாத வாக்குறுதி.
தன்னிடம் குறைந்த அளவிலான இயற்கணித கருவிகள் இருந்தபோதிலும், டியோபாண்டஸ் பலவிதமான சிக்கல்களைத் தீர்க்க முடிந்தது, மேலும் அரித்மெடிகா தனது முறைகளைப் பயன்படுத்த அரபு கணிதவியலாளர்களான அல்-கராஜே (சி. 980-1030) போன்றவர்களை ஊக்கப்படுத்தியது. டியோபான்டஸின் படைப்புகளின் மிகவும் பிரபலமான நீட்டிப்பு நவீன எண் கோட்பாட்டின் நிறுவனர் பியர் டி ஃபெர்மட் (1601-65) ஆவார். அரித்மெடிகாவின் நகலின் ஓரங்களில், ஃபெர்மட் பல்வேறு கருத்துக்களை எழுதினார், புதிய தீர்வுகள், திருத்தங்கள் மற்றும் டியோபாண்டஸின் முறைகளின் பொதுமைப்படுத்தல் மற்றும் பெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம் போன்ற சில அனுமானங்களை முன்வைத்தார், இது கணிதவியலாளர்களை அடுத்த தலைமுறைகளாக ஆக்கிரமித்தது. ஒருங்கிணைந்த தீர்வுகளுக்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகள் பொருத்தமற்றதாக இருந்தாலும், டையோபாண்டின் சமன்பாடுகளாக அறியப்படுகின்றன.
